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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.6 - Ex. 39

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6

Passo 1

Oieeee, bora resolver mais uma pexual

A principal propriedade do logaritmo natural (ou logaritmo de base e , denotado por l n   ) é a seguinte:

Seja a um número positivo, então:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + l n ⁡ ( b )

Essa propriedade afirma que o logaritmo natural do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos naturais de cada número individualmente.

Essa propriedade é extremamente útil para simplificar expressões logarítmicas complexas em problemas de cálculo.

Por exemplo, se tivermos l n ⁡ ( x 2 ) podemos aplicar essa propriedade para escrever

l n x 2 = l n x + l n ( x ) �� =   2 l n ( x ) .

Isso nos permite manipular e resolver a expressão mais facilmente.

Passo 2

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6

Usando a propriedade do logaritmo do produto, ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x + 1 5 + ln ⁡ x 4 - 3 6

ln ⁡ y = 5 ⋅ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) + 6 ⋅ ln ⁡ ( x 4 - 3 )

Passo 3

Agora, derivando usando a regra da cadeia, ficamos com

1 y ⋅ y ' = 5 2 x + 1 ⋅ 2 + 6 x 4 - 3 ⋅ 4 x 3

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ 5 2 x + 1 ⋅ 2 + 6 x 4 - 3 ⋅ 4 x 3

Passo 4

Substituindo y

y ' = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6 ⋅ 10 2 x + 1 + 24 x 3 x 4 - 3

Resposta

y ' = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6 ⋅ 10 2 x + 1 + 24 x 3 x 4 - 3

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