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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 48

Calcule a integral indefinida.

∫ x 3 x 2 + 1   d x

Passo 1

Pessoal, nessa questão devemos resolver a seguinte integral:

∫ x 3 x 2 + 1   d x

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Essa é uma integral que não é muito complicada, porém não é uma substituição tão simples de ser feita. Primeiro vamos reescrever a integral como

∫ x 3 x 2 + 1   d x = ∫ x 2 x 2 + 1     x   d x

Assim, podemos fazer a substituição

u = x 2 + 1

Ao resolver uma integral por substituição devemos encontrar o diferencial da nova variável e para isso derivamos com relação a variável anterior:

d u = u ' d x

No nosso caso teríamos:

d u = 2 x d x

Portanto,

x d x = d u 2

E também como a nossa substituição foi:

u = x 2 + 1

Também podemos escrever que:

x 2 = u - 1

Passo 2

Fazendo a mudança de variável, a integral fica

∫ x 2 x 2 + 1     x   d x = 1 2 ∫ u - 1   u   d u

Escrevendo em forma de potência para facilitar a integração:

= 1 2 ∫ u - 1   u 1 / 2   d u

Podemos multiplifcar de forma distributiva:

= 1 2 ∫ u 3 / 2 - u 1 / 2   d u

E agora usar a regra da integral da potência:

1 2 ∫ u 3 / 2 - u 1 / 2   d u = 1 2 u 5 / 2 5 / 2 - 1 2 u 3 / 2 3 / 2 + C

= 1 5 u 5 / 2 - 1 3 u 3 / 2 + C

Por se tratar de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de integração!

Passo 3

Voltando a variável original:

∫ x 2 x 2 + 1     x   d x = 1 5 ( x 2 + 1 ) 5 / 2 - 1 3 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 + C

Resposta

1 5 ( x 2 + 1 ) 5 / 2 - 1 3 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 + C

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