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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 39

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar a derivação logarítmica pra achar a derivada da função:

y = sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2

E para isso, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2

Ficou bem feio, né?

Mas a ideia em aplicar o ln ⁡ a essa função é justamente usar a propriedade logarítmicas que conhecemos para tornar essa derivação um pouco mais simples.

Então, o que faremos é arrumar um pouco melhor essa função aplicando as propriedade e, aí sim calcular sua derivada.

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso no passo a passo abaixo.

Passo 2

Ate aqui temos:

ln ⁡ y = ln ⁡ sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2

Lembrando de algumas propriedade importante do logarítimos temos:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

E ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 2

Também temos:

ln ⁡ a ⋅ b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

E nosso primeiro termo pode ser aberto ficando assim:

ln ⁡ y = ln ⁡ sin 2 ⁡ x + ln ⁡ tan 4 ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 2

Além disso:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

E todos os expoente podem cair pra frente do ln ⁡ multiplicando. O que nos dará:

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ s e n ⁡ x + 4 ln ⁡ tan ⁡ x - 2 ln ⁡ x 2 + 1

Note que, sabemos que para ln ⁡ x existir, x > 0 . Então, como - 1 < sin ⁡ x < 1 , colocamos o módulo, para garantir que esse número seja maior que 0

Agora o que nos resta é derivar cada um desses termos encontrados.

Passo 3

Como em todo os termos temos uma função dentro do ln ⁡ , precisaremos usar a regra da cadeia.

Relembrando. Se

F x = f g x

f g x = ln ⁡ g x

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora, derivando cada termo com a regra da cadeia, ficamos com

1 y ⋅ y ' = 2 ⋅ 1 sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x + 4 ⋅ 1 tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x - 2 ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x

Multiplicando e arrumando um pouco melhor, ficamos com:

1 y ⋅ y ' = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - 4 x x 2 + 1

Como o que queremos é a derivada de y , vamos isolar y ' , ficamos com:

y ' = y 2 ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - 4 x x 2 + 1

Passo 4

Agora, basta substituirmos y . Então

y ' = sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - 4 x x 2 + 1

E prontinho, temos nossa derivada.

Resposta

y ' = sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - 4 x x 2 + 1

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Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função y = x 1 x
Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função y = tan ⁡ x 1 x
Calcule a derivadaf) g (x) = ( 3 + cos x )^x
Calcule a derivada.c) g (x) = 3^(2 x + 1) + log_2 ( x^2 + 1 )
Calcule a derivada e) f (x) = x^(s e n 3 x)