Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função y = sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2

y ' = sin 2 ⁡ x ⋅ tan 4 ⁡ x x 2 + 1 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x + 4 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - 4 x x 2 + 1

Enunciado

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar a derivação logarítmica pra achar a derivada da função:

E para isso, tomaremos o , daí ficamos com

Ficou bem feio, né?

Mas a ideia em aplicar o a essa função é justamente usar a propriedade logarítmicas que conhecemos para tornar essa derivação um pouco mais simples.

Então, o que faremos é arrumar um pouco melhor essa função aplicando as propriedade e, aí sim calcular sua derivada.

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso no passo a passo abaixo.

Ate aqui temos:

Lembrando de algumas propriedade importante do logarítimos temos:

E ficamos com

Também temos:

E nosso primeiro termo pode ser aberto ficando assim:

Além disso:

E todos os expoente podem cair pra frente do multiplicando. O que nos dará:

Note que, sabemos que para existir, . Então, como , colocamos o módulo, para garantir que esse número seja maior que 0

Agora o que nos resta é derivar cada um desses termos encontrados.

Como em todo os termos temos uma função dentro do , precisaremos usar a regra da cadeia.

Relembrando. Se

Então:

Agora, derivando cada termo com a regra da cadeia, ficamos com

Multiplicando e arrumando um pouco melhor, ficamos com:

Como o que queremos é a derivada de , vamos isolar , ficamos com:

Agora, basta substituirmos . Então

E prontinho, temos nossa derivada.