Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 50
Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função
Passo 1
Oieee galerinhaa, bora láa
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Utilizando a derivação logarítmica. Isso significa que queremos encontrar a taxa de variação instantânea da função em relação a mas em vez de usar diretamente as regras de derivação, usaremos propriedades de logaritmos para simplificar o processo.
Propriedades de Logaritmos:
- Esta propriedade nos permite simplificar a função inicial.
- A base é comum em logaritmos naturais, então simplesmente se torna .
Regra do Produto:
- Esta regra é usada para derivar o produto de duas funções. Onde é a derivada de em relação a é a derivada de em relação a .
Ao usar a derivação logarítmica, transformamos a função original em uma forma que facilita a aplicação das regras de derivação, evitando complicações com exponenciais e funções trigonométricas.
Depois de encontrar a derivada em termos de e podemos substituir de volta pela sua expressão original para obter a derivada final em termos de
Passo 2
Para encontrar a derivada da função
Usando a derivação logarítmica, vamos seguir os seguintes passos:
1. Tomar o logaritmo natural de ambos os lados da equação.
2. Usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.
3. Aplicar a regra do produto para encontrar a derivada do lado esquerdo da equação em relação a
4. Resolver para .
Passo 3
Bora colocar a mão na massa e resolver essa questãozinha
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados da equação, obtemos:
2. Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que diz que , então:
Aplicamos a regra do produto para diferenciar o lado esquerdo da equação em relação a
4. Agora, isolamos :
Como
substituímos de volta na equação:
Essa é a derivada da função
Usando a derivação logarítmica.
Prontinho!