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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 40

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = x 2 + 1 x 2 - 1 4

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função utilizando a derivação logarítmica:

y = x 2 + 1 x 2 - 1 4

Para prosseguir com essa derivação, temos que aplicar o logaritmo natural l n de ambos os lados da igualdade.

Lembre-se que a derivada do logaritmo natural é dada por:

ln ⁡ x ' = 1 x

Também, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 1 4

Usando a propriedade do logaritmo do quociente, temos:

ln ⁡ y = 1 4 ⋅ ln ⁡ ( x 2 + 1 ) - ln ⁡ ( x 2 - 1 )

Passo 3

Agora, derivando usando a regra da cadeia e a propriedade da derivada da soma, ficamos com:

1 y ⋅ y ' = 1 4 ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x - 1 x 2 - 1 ⋅ 2 x

Trabalhando a equação algebricamente, temos:

1 y ⋅ y ' = 1 4 ⋅ 2 x x 2 + 1 - 2 x x 2 - 1 ∴

1 y ⋅ y ' = 1 4 2 x ⋅ x 2 - 1 - 2 x ⋅ x 2 + 1 x 2 + 1 ⋅ x 2 - 1 ∴

1 y ⋅ y ' = 2 x 4 x 2 - 1 - x 2 - 1 x 4 - 1 ∴

1 y ⋅ y ' = x 2 - 2 x 4 - 1 ∴

1 y ⋅ y ' = - x x 4 - 1

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ - x x 4 - 1

Passo 4

Agora, basta substituirmos y , então

y ' = x 2 + 1 x 2 - 1 4 ⋅ - x x 4 - 1

Resposta

y ' = x 2 + 1 x 2 - 1 4 ⋅ - x x 4 - 1

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