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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.6 - Ex. 25

Encontre y ' e   y ' ' :

y = ln ⁡ x + 1 + x 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

y = ln ⁡ x + 1 + x 2

Como vemos ali, temos uma função dentro da função ln ⁡ x , e além disso, temos uma função dentro da raíz... para resolver esses casos de derivada de uma função dentro da outra, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = x + 1 + x 2 , temos:

y ' = d d u ln ⁡ u d d x x + 1 + x 2

E a derivada do ln ⁡ x é 1 / x , portanto:

y ' = 1 u * d d x x + 1 + x 2

y ' = 1 x + 1 + x 2 * d d x x + 1 + x 2

Agora falta derivar aquele termo ali.

Passo 3

Aplicando a regra da soma para derivarmos d d x x + 1 + x 2 , temos:

d d x x + 1 + x 2 = d d x x + d d x 1 + x 2

d d x x + 1 + x 2 = 1 + d d x 1 + x 2

Tá,até aqui suave, falta derivar essa raíz aí, e pra isso, vamos de mais regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, fazendo u = 1 + x 2 , temos:

d d x x + 1 + x 2 = 1 + d d u u   d d x 1 + x 2

E a derivada da raíz, você faz que x = x 1 / 2 , logo a derivada é 1 2 x - 1 / 2 = 1 2 x 1 / 2 , portanto, nossa expressão fica:

d d x x + 1 + x 2 = 1 + 1 2 u 1 / 2   2 x

d d x x + 1 + x 2 = 1 + 1 2 1 + x 2   2 x

d d x x + 1 + x 2 = 1 + 2 x 2 1 + x 2

d d x x + 1 + x 2 = 1 + x 1 + x 2

Passo 5

Substituindo o resultado na expressão do Passo 2, temos:

y ' = 1 x + 1 + x 2 * d d x x + 1 + x 2

y ' = 1 x + 1 + x 2 * 1 + x 1 + x 2

y ' = 1 x + 1 + x 2 + x ( x + 1 + x 2 ) 1 + x 2

Resolvendo a soma, temos:

y ' = 1 + x 2 + x ( x + 1 + x 2 ) 1 + x 2  

Dividindo em cima e embaixo por 1 + x 2 + x , obtêm-se:

y ' = 1 1 + x 2

Agora vamos calcular a segunda derivada a partir de y ' .

Passo 6

Reescrevendo a expressão como:

y ' = 1 1 + x 2 = 1 + x 2 - 1 / 2

Aplicando a regra da cadeia fazendo u = 1 + x 2 , temos:

y ' ' = d d u u - 1 / 2 * d d x 1 + x 2

y ' ' = - 1 2 ⋅ 1 + x 2 - 3 2 ⋅ 2 x

y ' ' = - x ⋅ 1 + x 2 - 3 2

y ' ' = - x 1 + x 2 3 2

Resposta

y ' = 1 1 + x 2

y ' ' = - x 1 + x 2 3 2

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