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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 40

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = x ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar a derivação logarítmica pra achar a derivada da função:

y = x ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10

E para isso, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ x ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10

Ficou bem feio, né?

Mas a ideia em aplicar o ln ⁡ a essa função é justamente usar a propriedade logarítmicas que conhecemos para tornar essa derivação um pouco mais simples.

Então, o que faremos é arrumar um pouco melhor essa função aplicando as propriedade e, aí sim calcular sua derivada.

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso no passo a passo abaixo.

Passo 2

Ate aqui temos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10

Vamos transformar o x em x 1 2 , e termos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 2 ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10

Lembrando de algumas propriedade importante do logarítimos temos:

ln ⁡ a ⋅ b = ln ⁡ a + ln ⁡ b

Logo, podemos separar tudo da seguinte forma:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 2 + ln ⁡ e x 2 + ln ⁡ x 2 + 1 10

Além disso:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Aplicando isso a cada termos, ficamos com:

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x + x 2 ln ⁡ e + 10 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Sabemos que ln ⁡ e = 1 , daí

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ x + x 2 + 10 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Show, agora basta derivar tudo.

Passo 3

Agora, derivando cada termos, teremos:

ln ⁡ y ' = 1 2 ln ⁡ x ' + x 2 ' + 10 ln ⁡ x 2 + 1 '

usando a regra da cadeia, ficamos com

1 y ⋅ y ' = 1 2 ⋅ 1 x + 2 x + 10 ⋅ 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x

Ajeitando um pouco melhor, teremos:

1 y ⋅ y ' = 1 2 x + 20 x x 2 + 1 + 2 x

Trabalhando a equação algebricamente e isolando y ' ficamos com

y ' = y ⋅ 4 x 2 + 1 2 x + 20 x x 2 + 1

Tirando o mmc entre os denominadores e somando as frações, ficamos com:

y ' = y ⋅ 4 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 + 40 x 2 2 x ⋅ x 2 + 1

Passo 4

Agora, basta substituirmos y , então

y ' = x ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10 ⋅ 4 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 + 40 x 2 2 x ⋅ x 2 + 1

E prontinho. Encontramos a derivada de y .

Resposta

y ' = x ⋅ e x 2 ⋅ x 2 + 1 10 ⋅ 4 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 + 40 x 2 2 x ⋅ x 2 + 1

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