Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 42
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Passo 1
Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
O enunciado pediu pra gente usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada da função .
Isso quer dizer que vamos precisar aplicar a função logarítmica dos dois lados da função, para usar as propriedades de logaritmo e nos livrarmos daquele expoente complicado. Depois, vamos derivar ambos os lados, implicitamente, em relação a e isolar na equação.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar aplicando o logaritmo dos dois lados da equação:
Agora usando as propriedades de logaritmo, podemos “descer” aquele expoente e organizar a expressão assim:
Beleza, então podemos derivar todo mundo em relação a (só não esquece que é uma função de , então na hora de derivar ele, a gente acrescenta um ). Temos:
Onde é a derivada de , que aparece aí porque a gente usa a regra da cadeia na derivação do ln. Assim, temos:
Agora vamos tentar isolar . Multiplicando ambos os lados por :
Mas , que é a função que ele nos deu. Substituindo isso na equação, vamos ter:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉