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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 39

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6

E nosso objetivo é calcular a derivada de y usando o método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso?

A derivação logarítmica consiste em aplicar l n nos dois lados da igualdade e usar as propriedades logarítmicas para simplificar a equação e ao derivar os termos, aplicamos a regra da cadeia

d ln ⁡ f x d x = 1 f x · f ' x

Bora lá!

Passo 2

Primeiramente, aplicamos l n nos dois lados da igualdade...

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6

Usando a propriedade do logaritmo do produto ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 x + 1 5 + ln ⁡ x 4 - 3 6

E tambem aplicando a propriedade ln ⁡ a b = b ln ⁡ a .

ln ⁡ y = 5 ⋅ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) + 6 ⋅ ln ⁡ ( x 4 - 3 )

E agora parece mais simples?

Bora continuar

Passo 3

Agora, derivando usando a regra da cadeia que vimos no passo 1, temos

d ln ⁡ y d x = d 5 ⋅ ln ⁡ 2 x + 1 + 6 ⋅ ln ⁡ x 4 - 3 d x

d ln ⁡ y d x = d 5 ⋅ ln ⁡ 2 x + 1 d x + d 6 ⋅ ln ⁡ x 4 - 3 d x

d ln ⁡ y d x = 5 d ln ⁡ 2 x + 1 d x + 6 d ln ⁡ x 4 - 3 d x

Lembrando que y é uma função de x , então temos que tratar y como uma função

Aplicando a regra d ln ⁡ f x d x = 1 f x · f ' x temos

1 y ⋅ y ' = 5 · 1 2 x + 1 ⋅ d 2 x + 1 d x + 6 · 1 x 4 - 3 ⋅ d x 4 - 3 d x

1 y ⋅ y ' = 5 · 1 2 x + 1 ⋅ 2 + 6 · 1 x 4 - 3 ⋅ 4 x 3

1 y ⋅ y ' = 1 0 2 x + 1 + 24 x 3 x 4 - 3

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ 10 2 x + 1 + 24 x 3 x 4 - 3

Substituindo y = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6 , temos que finalmente

y ' = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6 10 2 x + 1 + 24 x 3 x 4 - 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

y ' = 2 x + 1 5 ⋅ x 4 - 3 6 ⋅ 10 2 x + 1 + 24 x 3 x 4 - 3

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