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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.12 - Ex. 1c

Calcule a derivada.

c) g (x) = 3^(2 x + 1) + log_2 ( x^2 + 1 )

Passo 1

Bem, podemos dividir essa função em duas partes, 3^(2 x + 1) e log_2 ( x^2 + 1 ) . Assim, resolvemos uma de cada vez. Para derivarmos a primeira parte utilizamos a relação para derivadas de expoentes:

(d)/(d x) (3^(2 x + 1)) = 3^(2 x + 1) (d)/(d x) [ (2 x + 1) ln ( 3 ) ]

Calculando a derivada de dentro:

(d)/(d x) [(2 x + 1) ln (3)] = [(d)/(d x) (2 x) + (d)/(d x) (1)] ln (3) = 2 l n ( 3 )

Portanto,

(d)/(d x) (3^(2 x + 1)) = 3^(2 x + 1) 2 l n ( 3 )

Passo 2

Agora, para o termo log_2 ( x^2 + 1 ) , lembrando da regra da cadeia e da derivada da função logaritimo, temos:

(d)/(dx) ( log_2 ( x^2 + 1 ) ) = (d)/(d x) (x^2 + 1) (1)/((x^2 + 1) ln 2)

(d)/(dx) ( log_2 ( x^2 + 1 ) ) = (2 x)/((x^2 + 1) l n 2)

Passo 3

Dessa forma, temos que a derivada total é :

(d)/(d x) (g (x)) = 3^(2 x + 1) 2 ln (3) + (2 x)/((x^2 + 1) l n 2)

Resposta

(d)/(d x) (g (x)) = 3^(2 x + 1) 2 ln (3) + (2 x)/((x^2 + 1) l n 2)

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