Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = x 1 x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função utilizando a derivação logarítmica:

y = x 1 x

Para prosseguir com essa derivação, temos que aplicar o logaritmo natural l n de ambos os lados da igualdade.

Lembre-se que a derivada do logaritmo natural é dada por:

ln ⁡ x ' = 1 x

Também, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com:

ln ⁡ y = ln ⁡ x 1 x ∴

ln ⁡ y = 1 x ln ⁡ x ∴

ln ⁡ y = ln ⁡ x x

Passo 3

Agora, derivando usando a regra do quociente e a regra da cadeia, ficamos com:

1 y ⋅ y ' = 1 x ⋅ x - ln ⁡ x ⋅ 1 x 2 ∴

1 y ⋅ y ' = 1 - ln ⁡ x x 2 ∴

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ 1 - ln ⁡ x x 2

Passo 4

Agora, basta substituirmos y , então

y ' = x 1 x ⋅ 1 - ln ⁡ x x 2

Resposta

y ' = x 1 x ⋅ 1 - ln ⁡ x x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 24, ache a derivada da função dada.8. f(x) = (x^3 + 3) * 2^(-7x)
Nos exercícios de 1 a 24, ache a derivada da função dada.f(x) = log_a[log_a(log_a(x))]
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: yt^(1 - e)
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: yx^π
Determine Dy/Dx tan(y) = e^x + ln(x)