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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 49

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = tan ⁡ x 1 x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função utilizando a derivação logarítmica:

y = tan ⁡ x 1 x

Para prosseguir com essa derivação, temos que aplicar o logaritmo natural l n de ambos os lados da igualdade.

Lembre-se que a derivada do logaritmo natural é dada por:

ln ⁡ x ' = 1 x

Também, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com:

ln ⁡ y = ln ⁡ tan ⁡ x 1 x ∴

ln ⁡ y = 1 x ⋅ ln ⁡ tan ⁡ x ∴

ln ⁡ y = ln ⁡ tan ⁡ x x

Passo 3

Agora, derivando e usando a regra da cadeia e a regra do quociente, ficamos com:

1 y ⋅ y ' = 1 tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x ⋅ x - ln ⁡ tan ⁡ x ⋅ 1 x 2 ∴

1 y ⋅ y ' = x ⋅ sec 2 ⁡ x tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2 ∴

1 y ⋅ y ' = x ⋅ sec 2 ⁡ x x 2 ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2 ∴

1 y ⋅ y ' = sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

Isolando y ' , ficamos com

y ' = y ⋅ sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

Passo 4

Agora, basta substituirmos y , então:

y ' = tan ⁡ x 1 x ⋅ sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

Resposta

y ' = tan ⁡ x 1 x ⋅ sec 2 ⁡ x x ⋅ tan ⁡ x - ln ⁡ tan ⁡ x x 2

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