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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 137

Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y e, relação à variável apropriada.

y = t + 1 t - 1 t - 2 t + 3 5

Passo 1

A ideia de fazer a derivada logarítimica é lembrar essa parada de derivar logaritmo:

ln ⁡ f x ' = f ' x f x

Isso é consequência da regra da cadeia, então basicamente o que fazemos é, tascar ln na equação, derivar implicitamente e usar essa propriedade.

Derivar implicitamente é só colocar o y ' quando derivarmos qualquer coisa de y

Vamso la?

Passo 2

Aplicando ln

ln ⁡ y = ln ⁡ t + 1 t - 1 t - 2 t + 3 5

Primeiro:

ln ⁡ y = 5 ln ⁡ t + 1 t - 1 t - 2 t + 3

Vamos usar as propriedades de log para abrir tudo isso:

ln ⁡ y = 5 ln ⁡ t + 1 t - 1 - ln ⁡ ( t - 2 ( t + 3 )

ln ⁡ y = 5 ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t - 1 - ln ⁡ t - 2 + ln ⁡ t + 3

ln ⁡ y = 5 ln ⁡ t + 1 + 5 ln ⁡ t - 1 - 5 ln ⁡ t - 2 - 5 ln ⁡ t + 3

Tudo limpo para aplicar a derivada

Passo 3

Derivando loucamente:

ln ⁡ y ' = 5 ln ⁡ t + 1 + 5 ln ⁡ t - 1 - 5 ln ⁡ t - 2 - 5 ln ⁡ t + 3 '

ln ⁡ y ' = 5 ln ⁡ t + 1 ' + 5 ln ⁡ t - 1 ' - 5 ln ⁡ t - 2 ' - 5 ln ⁡ t + 3 '

y ' y = 5 t + 1 + 5 t - 1 - 5 t - 2 - 5 t + 3

Sobrou um y ali, vamos passar para a direita multiplicando:

y ' = y 5 t + 1 + 5 t - 1 - 5 t - 2 - 5 t + 3

E agora?

Calma jovem gafanhoto, vamos usar:

y = t + 1 t - 1 t - 2 t + 3 5

Ai nossa derivada fica:

y ' = t + 1 t - 1 t - 2 t + 3 5 5 t + 1 + 5 t - 1 - 5 t - 2 - 5 t + 3

Resposta

y ' = t + 1 t - 1 t - 2 t + 3 5 5 t + 1 + 5 t - 1 - 5 t - 2 - 5 t + 3

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