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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 61

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso

y = e cos ⁡ t + ln ⁡ t

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para ambos os termos vamos usar a regra cadeia. O primeiro é a composição de f t = e t com g t = cos ⁡ t + ln ⁡ t . Assim, pela regra da cadeia

e cos ⁡ t + ln ⁡ t ' = f ' g t ⋅ g ' t

Passo 3

Precisamos obter então f ' e g ' . A primeira derivada sai direto da tabela de derivadas e vale

f ' t = e t

A segunda derivada também sai da tabela e vale

g ' t = cos ⁡ t ' + ln ⁡ t ' = - sen ⁡ t + 1 t = 1 - t sen ⁡ t t

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = e cos ⁡ t + ln ⁡ t ⋅ 1 - t sen ⁡ t t = 1 - t sen ⁡ t e cos ⁡ t + ln ⁡ t t

Resposta

y ' = 1 - t sen ⁡ t e cos ⁡ t + ln ⁡ t t

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