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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 140

Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y e, relação à variável apropriada.

y = ln ⁡ x 1 ln ⁡ x

Passo 1

A ideia de fazer a derivada logarítimica é lembrar essa parada de derivar logaritmo:

ln ⁡ f x ' = f ' x f x

Isso é consequência da regra da cadeia, então basicamente o que fazemos é, tascar ln na equação, derivar implicitamente e usar essa propriedade.

Derivar implicitamente é só colocar o y ' quando derivarmos qualquer coisa de y

Vamso la?

Passo 2

Aplicando ln

ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ x 1 ln ⁡ x

Vamos usar as propriedades de log para abrir tudo isso:

ln ⁡ y = 1 ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x

Tudo limpo para aplicar a derivada

Passo 3

Derivando loucamente, usando a regra do quociente::

ln ⁡ y ' = ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x '

ln ⁡ y ' = ln ⁡ ln ⁡ x ' ln ⁡ x - ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x ' ln ⁡ x 2  

y ' y = 1 x ln ⁡ x ln ⁡ x - ln ⁡ ln ⁡ x 1 x ln ⁡ x 2

y ' y = 1 x - ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x 2

y ' y = 1 - ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x 2

Sobrou um y ali, vamos passar para a direita multiplicando:

y ' = y 1 - ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x 2

E agora?

Calma jovem gafanhoto, vamos usar:

y = ln ⁡ x 1 ln ⁡ x

Ai nossa derivada fica:

y ' = ln ⁡ x 1 ln ⁡ x 1 - ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x 2

Resposta

y ' = ln ⁡ x 1 ln ⁡ x 1 - ln ⁡ ln ⁡ x x ln ⁡ x 2

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Utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada: y = ( x + 1 ) x