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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.12 - Ex. 1q

y = (1 + x)^(e^(- x) )

Passo 1

Para resolver essa derivada, vamos utilizar a regra da cadeia e a regra para derivada de expoentes, mas vamos aos poucos, nossa função é:

y = (1 + x)^(e^(- x) )

Pela regra da derivada de expoentes, ela pode ser reescrita como:

y = f (x)^(g (x))

E sua derivada seria dada por:

(d y)/(d x) = f (x)^(g (x)) . [ g (x) l n f (x) ] '

Onde pelo nosso problema, temos que

g (x) = e^(- x)

f (x) = 1 + x

Substituindo nossa f (x) e nossa g ( x ) ...

(d y)/(d x) = (x + 1)^(e^(- x)) . [ e^(- x) l n (x + 1) ] '

Agora, só falta sabermos derivar esse cara aí da esquerda!

Passo 2

Vamos pegar o termo com a derivada e usar a regra do produto:

(d)/(d x) [e^(- x) ln (1 + x)] = e^(- x) (d)/(d x) [ln (1 + x)] + ln (1 + x) (d)/(d x) [e^(- x)]

(d)/(d x) [e^(- x) ln (1 + x)] = e^(- x) (1)/(1 + x) - ln (1 + x) e^(- x)

Portante temos:

(d y)/(d x) = (1 + x)^(e^(- x)) [e^(- x) (1)/(1 + x) - ln (1 + x) e^(- x)]

Resposta

(d y)/(d x) = (1 + x)^(e^(- x)) [e^(- x) (1)/(1 + x) - ln (1 + x) e^(- x)]

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