Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 18
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar um número de subintervalos para a aproximação (a) pelo ponto médio e (b) trapezoidal e (c) pela regra de Simpson que garanta que o erro absoluto seja menor que o valor dado.
Exercício 6:
Passo 1
A ideia aqui é calcular o valor de usando essas fórmulas:
Como o enunciado já dá o valor do limitante superior do erro, é só a gente substituir esse valor e isolar o , para cada caso. Vamos lá!
Passo 2
(a) Precisamos avaliar o para a aproximação pelo método do ponto médio, então vamos usar
Onde é o valor máximo de no intervalo da integral.
Temos que:
Derivando duas vezes:
Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo , é o próprio . Aí vemos que:
Passo 3
Como queremos estimar o número de subintervalos para que , com e , nossa inequação fica:
Isolando :
A gente quer garantir que o erro seja maior que o valor do enunciado, e não igual, por isso vamos escolher:
Passo 4
(b) Precisamos avaliar o para a aproximação pelo método trapezoidal, então vamos usar
Onde é o valor máximo de no intervalo da integral.
Já vimos que:
Como queremos estimar o número de subintervalos para que , com e , nossa inequação fica:
Isolando :
Como é inteiro, ele deve ser:
Passo 5
(c)Precisamos avaliar o para a aproximação pela regra de SImpson, então vamos usar
Onde é o valor máximo de no intervalo da integral.
Temos que:
Derivando duas vezes:
Isso é uma divisão, então o valor máximo em módulo acontece no valor mínimo do denominador, que dentro do intervalo , é o próprio . Aí vemos que:
Passo 6
Como queremos estimar o número de subintervalos para que , com e , nossa inequação fica:
Isolando :
Para a regra de Simpson, dever ser inteiro par, por isso: