Determine dy/dx da seguinte expressão y^2 = 1 - 2/x

Passo 1

Para obtermos d y / d x , derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d x ( y 2 ) = d d x 1 - 2 x

Passo 2

Aplicamos a regra da potência no primeiro termo a esquerda, usando também a regra da cadeia para obter a derivada implícita. No segundo aplicamos a regra da derivada da subtração. Assim:

d d x ( y 2 ) = d d x 1 - d d x 2 x → 2 y 2 - 1 d y d x = 0 - d d x 2 x

ou, invertendo o segundo termo da direita temos:

2 y 2 - 1 d y d x = 0 - d d x 2 ⋅ x - 1

Assim:

2 y d y d x = + 2 ⋅ x - 1 - 1 → 2 y d y d x = 2 ⋅ x - 2 → d y d x = 2 ⋅ x - 2 2 y

→ d y d x = 1 x 2 y

Passo 3

Aplicando a segunda derivada, teremos de usar a regra do quociente. Assim, a derivada ficará:

d 2 y d x 2 = - d d x x 2 y x 2 y 2

Passo 4

No numerador temos uma regra de derivação da multiplicação. Aplicando isso :

d 2 y d x 2 = - d d x x 2 y - x 2 d y d x x 2 y 2 → d y d x = - 2 x y - x 2 d y d x x 2 y 2

Passo 5

Sabemos do passo 2 que:

d y d x = 1 x 2 y

Substituindo na expressão da segunda derivada, resultará em:

d 2 y d x 2 = - 2 x y - x 2 1 x 2 y x 2 y 2

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes e elevando ao quadrado o termo no denominador:

d 2 y d x 2 = - 2 x y - 1 y x 2 y 2 → d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - 1 y x 4 y 2 → d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - 1 x 4 y 3

Resposta

Assim o resultado da derivada de segunda ordem será:

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - 1 x 4 y 3

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