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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 83b

Determine d y // d x da seguinte expressão y^2 = 1 - (2)/(x)

Passo 1

Para obtermos d y // d x , derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d x) ( y^2 ) = (d)/(d x) (1 - (2)/(x))

Passo 2

Aplicamos a regra da potência no primeiro termo a esquerda, usando também a regra da cadeia para obter a derivada implícita. No segundo aplicamos a regra da derivada da subtração. Assim:

(d)/(d x) ( y^2 ) = (d)/(d x) (1) - (d)/(d x) ((2)/(x)) -> 2 y^(2 - 1) (d y)/(d x) = 0 - (d)/(d x) ((2)/(x))

ou, invertendo o segundo termo da direita temos:

2 y^(2 - 1) (d y)/(d x) = 0 - (d)/(d x) (2 * x^(- 1))

Assim:

2 y^() (d y)/(d x) = + 2 * x^(- 1 - 1) -> 2 y^() (d y)/(d x) = 2 * x^(- 2) -> (d y)/(d x) = (2 * x^(- 2))/(2 y^())

-> (d y)/(d x) = (1)/(x^2 y^())

Passo 3

Aplicando a segunda derivada, teremos de usar a regra do quociente. Assim, a derivada ficará:

(d^2 y)/(d x^2) = - ((d)/(d x) (x^2 y))/((x^2 y)^2)

Passo 4

No numerador temos uma regra de derivação da multiplicação. Aplicando isso :

(d^2 y)/(d x^2) = - ((d)/(d x) (x^2) y - x^2 (d y)/(d x))/((x^2 y)^2) -> (d y)/(d x) = (- 2 x y - x^2 (d y)/(d x))/((x^2 y)^2)

Passo 5

Sabemos do passo 2 que:

(d y)/(d x) = (1)/(x^2 y^())

Substituindo na expressão da segunda derivada, resultará em:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y - x^2 (1)/(x^2 y^()))/((x^2 y)^2)

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes e elevando ao quadrado o termo no denominador:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y - (1)/(y))/((x^2 y)^2) -> (d^2 y)/(d x^2) = ((- 2 x y^2 - 1)/(y))/(x^4 y^2) -> (d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 - 1)/(x^4 y^3)

Resposta

Assim o resultado da derivada de segunda ordem será:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 - 1)/(x^4 y^3)

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