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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 41

Use diferenciais para encontrar um valor aproximado com 3 casas decimais de precisao de log 10 ⁡ 100.937 .   Use o fato de que log 10 ⁡ e   =   0,434 .  

Passo 1

Propriedade de Log

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

ln ⁡ b a =   a   l n b  

ln ⁡ e = 1  

Propriedades de Derivadas

d d x f x g x = f ' ( x ) g ( x ) - g ' ( x ) f ( x ) g ² ( x )

Passo 2

Primeiro Coisa a saber é como se faz uma aproximação. Usamos A expansão de Taylor até a primeira ordem para isso :

T ( x ) = y 0 + d y 0 d x   ∆ x

Quanto maior for a sua expansão de Taylor, maior será a precisão da sua resposta.

Dados do problema :

Y = log 10 ⁡ x  

X0 = 100

∆ x = 0,937

log 10 ⁡ e   =   0,434 .  

Plotando os valores :

T x = log 10 ⁡ 100   + d d x log 10 ⁡ x   .   0,937

Passo 3

Calculando d d x log 10 ⁡ x  

d d x log 10 ⁡ x   = d d x l n x l n 10   = 1 l n 10   . 1 x

Usando log 10 ⁡ e   =   0,434  

log 10 ⁡ e   = l n e l n 10 = 1 l n 10 = 0,434

Entao d d x log 10 ⁡ x   = 0,434   . 1 x

Passo 4

Por fim

T(X) = log 10 ⁡ 100   + d d x log 10 ⁡ x   .   0,937

= log 10 ⁡ 100   + 0,434   . 1 x   .   0,937

= 2 + 0,434   . 1 100   .   0,937

= 2,00406

Comparando com a calculadora temos que log 10 ⁡ 100.937   =   2.00405

Nosso erro foi na quinta casa decimal. Uma ótima aproximação para uma expansão apenas de primeira ordem. Se reduzirmos nossas casas decimais para 3 conforme o problema pede

Temos um resultado idêntico.

Resposta

T x = 2,00 4

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