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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 11

Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral.

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ

Passo 1

Pessoal, a integral deste exercício deve ser checada na Tabela de Integrais, nas Páginas de Referência. A partir delas conseguiremos resolver a integral dada. Vamos la:

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ

A forma desta integral é muito parecida com a entrada 74 da tabela, onde n = 6 . Vamos comparar:

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ → ∫ cos n ⁡ u d u

Vamos então usar a resposta:

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u sin ⁡ u + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 1 6 cos 5 ⁡ θ sin ⁡ θ π 0 + 5 6 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ d θ

= 1 6 cos 5 ⁡ π sin ⁡ π - 1 6 cos 5 ⁡ 0 sin ⁡ 0 + 5 6 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ d θ

= 0 + 5 6 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ d θ

Temos uma parte já resolvida. Porém, temos uma nova integral, sendo necessário olhar de novo a Tabela.

5 6 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ d θ

Esta integral também pode ser resolvida pela entrada 74 da tabela. Vamos usa-la novamente:

5 6 ∫ 0 π cos 4 ⁡ θ d θ = 5 6 1 4 cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ π 0 + 3 4 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ

= 5 6 1 4 cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ π 0 + 3 4 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ

= 5 6 0 + 3 4 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ

5 8 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ

Parece até que caímos num loop infinito de integrais. Mas calma!!! Veja que a potência está sempre reduzindo. Agora, olhando pra integral 64 da Tabela, vemos que é igual a nossa. Nossos problemas acabaram, vamos usar a resposta da 64:

5 8 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ d θ = 15 24 1 2 θ + 1 4 sin ⁡ 2 θ + C π 0

= 5 8 1 2 π + 1 4 sin ⁡ 2 π + C - 0 + 1 4 sin ⁡ 0 + C

= 5 8 π 2 = 5 π 16

Que é a nossa resposta.

Resposta

∫ 0 π cos 6 ⁡ θ d θ = 5 π 16

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