Enunciado

Use a equação (17) para mostrar que o gráfico de x t = A . e - λ t . s e n ω 2 - λ 2 t + θ intercepta o eixo t exatamente no valor médio dos instantes nos quais o gráfico de x ( t ) toca os gráficos de ± A . e - λ t . Os valores de t para os quais x ( t ) atinge um máximo ou um mínimo não estão no meio dos pontos em que o gráfico de x ( t ) intercepta o eixo t . Verifique esta última afirmação analisando a função x t = e - t . s e n t + π 4

Passo 1

E aííí, e vamos de demonstração?

Da equação 17 do seu livro, temos

t = 2 n + 1 π / 2 - ϕ ω 2 - λ ²

E aí, pra vermos os instantes das intersecções, podemos escrever:

t = 2 n + 3 π / 2 - ϕ ω 2 - λ ² - 2 n + 1 π / 2 - ϕ ω 2 - λ ²

Dessa forma:

t = π 2 . ( 2 n + 3 - 2 n - 1 ) ω 2 - λ ²

t = 2 π / 2 ω 2 - λ ²

t = π ω 2 - λ ²

E sabemos que o quasi período é

2 π ω 2 - λ ²

Então, o t que encontramos é justamente a metade do quasi período :D

Passo 2

Agora vamos provar a afirmação analisando a função x t = e - t . s e n t + π 4

O período dela é 2 π

Se x = 0 , temos:

e - t . s e n t + π 4 = 0

s e n t + π 4 = 0

t + π 4 = π ,   2 π , …

t = 3 π 4 , 7 π 4 , …     ( I )

Já se fizermos x ' t = 0 , temos:

t = π ,   2 π , …     ( I I )

Agora olha só: o intervalo de tempo entre as intersecções em ( I ) e os extremos em ( I I ) é justamente π 4 !! Lindo demais né? :P

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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