Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 77
Use o fato de que
para mostrar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo
Passo 1
Olha, quando você ver um enunciado com uma derivada e pedindo para você provar que uma equação tem solução, você já pode desconfiar que ele quer que você use o Teorema de Rolle.
Ele diz que se uma função é contínua num intervalo . Se:
Então existe pelo menos um dentro desse intervalo, onde .
Vamos pensar juntos como a gente pode usar esse teorema na nossa questão. Vem comigo!
Passo 2
Ele quer que a gente prove que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo Se a gente chamar:
O Teorema diz que essa derivada pode zerar para um valor de , se esse valor estiver dentro de um intervalo onde a função que foi derivada zere nos extremos desse mesmo intervalo.
Sabemos que a função derivada foi:
Vamos ver os valores dela em e , os extremos do intervalo do enunciado:
A gente vê que a função zera nos extremos do nosso intervalo. Então pelo teorema, existe pelo menos um valor de nesse intervalo onde . Ou seja, onde a equação:
Tem solução.
Resposta
Prova nos passos