Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 22
Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Passo 1
Oi, pessoal! Tudo certinho?
Nessa questão, precisamos usar o Teorema 4 do livro para calcular a integral
Mas o que diz esse tal de Teorema 4? Vamos relembrar rapidinho 😊!
Ele fala que se for integrável no intervalo , então
onde e
Ótimo! Mas o que precisamos fazer para resolver a questão?
Para cada , precisamos descobrir o termo da Soma de Riemann e depois calcular o limite do somatório, combinado?
Vamos lá!
Passo 2
Começamos calculando e o pontos em que vamos avaliar a função.
Como e , temos que
Sabendo o podemos calcular
Passo 3
Vamos encontrar os valores de avaliados nos pontos amostrais . Lembramos que a função que queremos integrar é
Dessa forma, avaliando a função nos pontos
temos que
Vamos ajustar essa expressão. Podemos expandir o quadrado, ficando com
Simplificando, temos que
Passo 4
Agora, vamos encontrar os termos do somatório
Nos passos anteriores, obtivemos que
e
Assim,
Logo, o somatório que queremos calcular o limite é dado por
Para facilitar o cálculo do limite, vamos reescrever esse somatório de uma forma mais conveniente, beleza?
Podemos separar esse somatório em três somatórios da seguinte forma:
Além disso, podemos colocar os fatores constantes e em evidência em cada soma, ficando com:
Agora, lembramos do valor de cada um desses três somatórios encontrados (você pode encontrar essas fórmulas na página 336 do livro, beleza?):
Assim, substituindo esses valores na nossa soma, temos:
Que podemos reescrever como
Passo 5
Agora, falta apenas calcularmos o limite
Como encontramos que
então
é igual a
Dessa forma, encontramos que
usando a forma da definição de integral dada no Teorema 4. 🎉
Resposta
A integral vale: