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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 85

85. Use a fórmula:

s e n   h + s e n   2 h + s e n   3 h …   s e n   m h = cos ⁡ h 2 - cos ⁡ m + 1 2 h 2 s e n   h 2

para determinar a área sob a curva y = s e n   x de x = 0 até x = π 2 em duas etapas:

a) Divida o intervalo 0 ,   π 2 em n subintervalos de comprimento igual e calcule a soma superior U   correspondente.

b) Determine o limite de U quando n → ∞ e ∆ x = b - a n → 0 .

Passo 1

a) Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições P que subdividem o intervalo [ 0 ,     π 2 ] em n subintervalos de largura igual a:

∆ x = b - a n

∆ x = π 2 - 0 n = π 2 n

Ademais, como os retângulos possuem mesma largura, teremos o seguinte:

x 0 = 0

x 1 = ∆ x

x 2 = 2 ∆ x

⋮

x n = n ∆ x = π 2

Passo 2

Tendo em vista o que construímos no passo anterior, sabemos que a soma superior U corresponde à soma das áreas dos retângulos adotados que possuem áreas iguais a:

f x 1 ∆ x = s e n   ∆ x ∆ x

f x 2 ∆ x = s e n   2 ∆ x ∆ x

⋮

f x n ∆ x = s e n   n ∆ x ∆ x

Passo 3

Utilizando a fórmula cedida pela questão, teremos o seguinte, galera:

s e n   ∆ x + s e n   2 ∆ x + s e n   n ∆ x ∆ x = cos ⁡ ∆ x 2 - cos ⁡ n + 1 2 ∆ x 2 s e n   ∆ x 2 ∆ x

Lembrando que, de acordo com o passo 1,   ∆ x = π 2 n :

s e n   ∆ x + s e n   2 ∆ x + s e n   n ∆ x ∆ x = cos ⁡ π 4 n - cos ⁡ n + 1 2 π 2 n 2 s e n   π 4 n π 2 n

s e n   ∆ x + s e n   2 ∆ x + s e n   n ∆ x ∆ x = cos ⁡ π 4 n - cos ⁡ π 2 + π 4 n 4 n s e n   π 4 n π

∴ U = cos ⁡ π 4 n - cos ⁡ π 2 + π 4 n s e n   π 4 n π 4 n

Passo 4

b) Aplicando o limite no valor de U que encontramos, teremos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ π 4 n - cos ⁡ π 2 + π 4 n s e n   π 4 n π 4 n

Aqui vale lembrar que o denominador apresenta um limite trigonométrico fundamental, conforme visto lá na parte de limites, ok? Esse limite nos diz o seguinte:

lim x → ∞ ⁡ s e n   x x = 1

Como o limite do nosso denominador é a mesma coisa desse que comentamos, então:

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ π 4 n - cos ⁡ π 2 + π 4 n s e n   π 4 n π 4 n = cos ⁡ 0 - c o s ⁡ ( 90 ° ) 1

∴ l i m n → ∞ U = 1

Resposta

a )   U = cos ⁡ π 4 n - cos ⁡ π 2 + π 4 n s e n   π 4 n π 4 n

b )   l i m n → ∞ U = 1  

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