Use a fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva y = 2 x - 5 , - 1 ≤ x ≤ 3 . Verifique o seu resultado observando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula de distância.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento da curva y = 2 x - 5 , no intervalo - 1 ≤ x ≤ 3 , usando a fórmula do comprimento de arco e a fórmula da distância entre pontos, comparando os resultados obtidos.

Pra isso, a gente tem que lembrar que a fórmula da distância entre dois pontos é dada por:

L = x - x 0 2 + y - y 0 2

Nós já sabemos que x tá entre - 1 e - 3 , pelo intervalo dado. Então, basta substituir esses valores na função, para obter os valores de y e calcular a distância.

Depois, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e [ a ,   b ] é o nosso intervalo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo os nossos pontos, substituindo x = - 1 na equação y = 2 x - 5 :

y = 2 ∙ - 1 - 5

y = - 7

E para x = 3 , vamos ter:

y = 2 ∙ 3 - 5

y = 1

Logo, o comprimento pedido é a distância entre os pontos ( - 1 , - 7 ) e ( 3 ,   1 ) . Desta forma, substituindo na fórmula da distância entre os pontos, teremos:

L = - 1 - 3 2 + - 7 - 1 2

L = 16 + 64

L = 80

E fatorando essa raiz:

L = 4 5

Agora vamos calcular usando a fórmula de comprimento de arco e comparar o resultado!

Passo 3

O comprimento de arco é dado por :

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, como y = 2 x - 5 , temos que sua derivada é y ' = 2 . Então, substituindo tudo na fórmula, ficamos com:

L = ∫ - 1 3 1 + 2 2   d x

Colocando a constante do lado de fora da integral:

L = 5 ∫ - 1 3 d x

E integrando em relação a x :

L = 5 x - 1 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

L = 5 3 - - 1

L = 4 5

Portanto, os resultados coincidem!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 5

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