Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 1
Use a fórmula do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva , . Verifique o seu resultado observando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula de distância.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento da curva , no intervalo , usando a fórmula do comprimento de arco e a fórmula da distância entre pontos, comparando os resultados obtidos.
Pra isso, a gente tem que lembrar que a fórmula da distância entre dois pontos é dada por:
Nós já sabemos que tá entre e , pelo intervalo dado. Então, basta substituir esses valores na função, para obter os valores de e calcular a distância.
Depois, vamos usar a fórmula do comprimento de arco:
Onde é a derivada da nossa função e é o nosso intervalo.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo os nossos pontos, substituindo na equação :
E para , vamos ter:
Logo, o comprimento pedido é a distância entre os pontos e . Desta forma, substituindo na fórmula da distância entre os pontos, teremos:
E fatorando essa raiz:
Agora vamos calcular usando a fórmula de comprimento de arco e comparar o resultado!
Passo 3
O comprimento de arco é dado por :
Assim, como , temos que sua derivada é . Então, substituindo tudo na fórmula, ficamos com:
Colocando a constante do lado de fora da integral:
E integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração, obtemos:
Portanto, os resultados coincidem!
Valeu, galera! Até a próxima! 😉