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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 68

Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,   a ≤ x ≤ b .

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade um tanto quanto confusa.

Queremos usar a fórmula 2

d y d x = d y d t d x d t         s e d x d t ≠ 0

para deduzir a fórmula 7

S = ∫ α β 2 π y d x d t 2 + d y d t 2   d t

usando a fórmula 8.2.5

S = ∫ a b 2 π y 1 + d y d x 2 d x

Basicamente a gente precisa encontrar:

d x d t 2 + d y d t 2

A partir de:

d y d x = d y d t d x d t

Passo 2

Repare que na fórmula 8.2.5 nós temos um d y d x dentro da raiz, então vamos substituir nossa primeira fórmula, que dá o valor de d y d x , nessa fórmula:

S = ∫ a b 2 π y 1 + d y d x 2 d x

S = ∫ a b 2 π y 1 + d y d t d x d t   2 d x

Organizando a divisão de frações:

S = ∫ a b 2 π y 1 + d y d t   2 d t d x 2 d x

Agora vamos pensar um pouquinho em como reescrever esse 1 de outra forma. Ele pode ser escrito como:

1 = d x d t 2 d t d x 2

Então vamos substituir isso na nossa conta!

Passo 3

Substituindo:

S = ∫ a b 2 π y d x d t 2 d t d x 2 + d y d t   2 d t d x 2 d x

Agora vamos colocar o termo d t d x 2 em evidência:

S = ∫ a b 2 π y d t d x 2 d y d t   2 + d x d t 2 d x

Como temos uma multiplicação dentro da raiz, podemos tirar d t d x lá de dentro:

S = ∫ a b 2 π y d y d t   2 + d x d t 2 d t d x   d x

Ótimo! Agora podemos cancelar aquele termo d x fora da raiz

S = ∫ a b 2 π y d y d t   2 + d x d t 2 d t  

Nossa fórmula ficou bem parecida com a que queríamos chegar né? A única diferença entre as duas são os limites de integração.

Agora desde que a e b refiram-se a valores de x , se x = f t ,   y = g t , e a = f α ,   b = f β então

S = ∫ α β 2 π y d y d t   2 + d x d t 2 d t   se α ≤ β

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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