Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 39

Vimos que todos os campos vetoriais na forma F → = ∇ g satisfazem a equação r o t   F → = 0 e que todos os campos vetoriais na forma F → = r o t G → satisfazem a equação d i v   F → = 0 (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma f = d i v   G → devem satisfazer? Mostre que a resposta dessa pergunta é não, demonstrando que toda função contínua f em R 3 é o divergente de algum campo de vetores. (Sugestão: tome G → x , y , z = g x , y , z , 0,0 , onde g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t . )

Passo 1

Fala, pessoal! Que questão é essa, socorro, né?

Olha só, a questão tá pedindo pra gente demonstrar se existe alguma equação em que as funções da forma

f = d i v   G →

não conseguem ser satisfeitas, já que são satisfeitas

F → = ∇ g → r o t   F → = 0

F → = r o t G → → d i v   F → = 0

Precisamos demonstrar que que toda função contínua f em R 3 é o divergente de algum campo de vetores.

Temos algumas dicas para nosso cálculo:

G → x , y , z = g x , y , z , 0,0

Onde

g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t

Vamos lá! 😊

Passo 2

Seguindo a sugestão:

G → = g x , y , z , 0,0

Para todo f ( x ,   y ,   z ) , existe um campo vetorial

G → = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t , 0,0

Então, o divergente de G → é definido pela derivada parcial desse campo vetorial:

d i v   G → = ∂ ( g x , y , z ) ∂ x + ∂ ∂ y 0 + ∂ ∂ z 0

Agora seguindo novamente a sugestão do problema, vou substituir a função g x , y , z por

g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t

Então o divergente de G → fica:

d i v   G → = ∂ ∂ x ∫ 0 x f t , y , z d t

E, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral é a primitiva aplicada nos limites, então:

d i v G → = f ( x , y , z )

Assim toda função contínua no espaço R 3 terá um campo vetorial para a solução

f = d i v   G →

Ou seja, qualquer função contínua pode ser a divergência de algum campo vetorial.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

3 ) Seja Ω = {(x, y) ∈ ℝ2 | (x, y) ∉ A}, onde A é a semirreta {(x, y)∈ ℝ2 | y= 0 e x ≥ 0}. Calcule ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ: [ 0 ,1 ]→R 2 é uma curva C1 por partes, com imagem co
Calcule e ) int_(gamma)^() (s e n x y + x y cos x y) d x + (x^2 cos x y) d y Onde gamma (t) = (t^2 - 1 , t^2 + 1) , - 1 = t = 1
2 ) Seja F:Ω⊂R n→R n contínuo no aberto Ω. Prove que uma condiçãonecessária para que F seja conservativo é que ∫ γ F ⋅ d r = 0 , para toda curva γ fechada C 1 por partes com imagem contida em Ω
4 ) Seja Ω o interior do conjunto hachurado.Sejaγ:[0 ,1]→R 2 uma curva de classe C1 por partes com imagemcontida em Ω e tal que γ( 0 )=( 1 ,1 )eγ( 1 )=( 2 ,2 ) . Calcule ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2
Calcule int_(( 1,1 ))^(( 2,2 )) y d x + x d y