Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 39
Vimos que todos os campos vetoriais na forma satisfazem a equação e que todos os campos vetoriais na forma satisfazem a equação (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma devem satisfazer? Mostre que a resposta dessa pergunta é não, demonstrando que toda função contínua em é o divergente de algum campo de vetores. (Sugestão: tome , onde )
Passo 1
Fala, pessoal! Que questão é essa, socorro, né?
Olha só, a questão tá pedindo pra gente demonstrar se existe alguma equação em que as funções da forma
não conseguem ser satisfeitas, já que são satisfeitas
Precisamos demonstrar que que toda função contínua em é o divergente de algum campo de vetores.
Temos algumas dicas para nosso cálculo:
Onde
Vamos lá! 😊
Passo 2
Seguindo a sugestão:
Para todo , existe um campo vetorial
Então, o divergente de é definido pela derivada parcial desse campo vetorial:
Agora seguindo novamente a sugestão do problema, vou substituir a função por
Então o divergente de fica:
E, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral é a primitiva aplicada nos limites, então:
Assim toda função contínua no espaço terá um campo vetorial para a solução
Ou seja, qualquer função contínua pode ser a divergência de algum campo vetorial.
Resposta
Demonstração.