Enunciado

Vimos que todos os campos vetoriais na forma F → = ∇ g satisfazem a equação r o t   F → = 0 e que todos os campos vetoriais na forma F → = r o t G → satisfazem a equação d i v   F → = 0 (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma f = d i v   G → devem satisfazer? Mostre que a resposta dessa pergunta é não, demonstrando que toda função contínua f em R 3 é o divergente de algum campo de vetores. (Sugestão: tome G → x , y , z = g x , y , z , 0,0 , onde g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t . )

Passo 1

Fala, pessoal! Que questão é essa, socorro, né?

Olha só, a questão tá pedindo pra gente demonstrar se existe alguma equação em que as funções da forma

f = d i v   G →

não conseguem ser satisfeitas, já que são satisfeitas

F → = ∇ g → r o t   F → = 0

F → = r o t G → → d i v   F → = 0

Precisamos demonstrar que que toda função contínua f em R 3 é o divergente de algum campo de vetores.

Temos algumas dicas para nosso cálculo:

G → x , y , z = g x , y , z , 0,0

Onde

g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t

Vamos lá! 😊

Passo 2

Seguindo a sugestão:

G → = g x , y , z , 0,0

Para todo f ( x ,   y ,   z ) , existe um campo vetorial

G → = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t , 0,0

Então, o divergente de G → é definido pela derivada parcial desse campo vetorial:

d i v   G → = ∂ ( g x , y , z ) ∂ x + ∂ ∂ y 0 + ∂ ∂ z 0

Agora seguindo novamente a sugestão do problema, vou substituir a função g x , y , z por

g x , y , z = ∫ 0 x f ( t , y , z ) d t

Então o divergente de G → fica:

d i v   G → = ∂ ∂ x ∫ 0 x f t , y , z d t

E, pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral é a primitiva aplicada nos limites, então:

d i v G → = f ( x , y , z )

Assim toda função contínua no espaço R 3 terá um campo vetorial para a solução

f = d i v   G →

Ou seja, qualquer função contínua pode ser a divergência de algum campo vetorial.

Resposta

Demonstração.

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