Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura.

y = tg(x)

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade juntos.

Antes de tudo, deveremos olhar para a fórmula 11 :

k x = f ' ' x 1 + f ' x 2 3 2

Está fórmula nos dá a curvatura k x de uma função y = f x .

O primeiro passo é obter as duas primeiras derivadas de y para depois aplicar a Fórmula 11.

Passo 2

Derivando utilizando as derivadas tabeladas das funções trigonométricas e a regra da cadeia:

y ' = sec 2 ⁡ x

y ' ' = d sec 2 ⁡ x d sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x d x

y ' ' = 2 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x tg ⁡ x

y ' ' = 2 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x

Agora, a partir dos valores obtidos no passo 1, aplicamos a Fórmula 11 para determinar a curvatura da função dada:

k x = | y ' ' | ( 1 + y ' 3 / 2

Colocando as derivadas:

k x = 2 sec 2 ⁡ x tg ⁡ x [ 1 + sec 2 ⁡ x 2 ] 3 2

k x = 2 sec 2 ⁡ x | tg ⁡ x | 1 + sec 4 ⁡ x 3 / 2

Resposta

2 sec 2 ⁡ x | tg ⁡ x | 1 + sec 4 ⁡ x 3 / 2

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(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.(b) Encontre r’(t)(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.r(t) = e^(2t) * i + e^(t) * j, t = 0
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