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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 10

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ 10 n x n n 3

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = 10 n x n n 3

Então, fazemos

a n + 1 = 10 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) 3

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 10 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) 3 ⋅ n 3 10 n x n = lim n → ∞ ⁡ 10 x n 3 n + 1 3 = lim n → ∞ ⁡ 10 | x | 1 + 1 n 3 = 10 | x | 1 3 = 10 | x |

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ 10 n x n n 3

Converge quando

10 x < 1 ⇔ | x | < 1 10

Passo 4

Então, o raio de convergência

R = 1 10

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

Quando

x = - 1 10

A série converge pelo teste das séries alternadas.

Quando

x = 1 10

A série converge por causa da p-série com

p = 3 > 1

Então, o intervalo de convergência é:

I = - 1 10 , 1 10

Resposta

R = 1 10

I = - 1 10 , 1 10

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