Trace o gráfico da curva com equações paramétricas

x = t y = 4 * t^(3/2) z = -t^2

E calcule a curvatura no ponto (1, 4, -1).

Passo 1

Primeiramente devemos obter a primeira e segunda derivadas da curva r ( t ) .

r ' t = ( 1 ,   6 t 1 2 ,   - 2 t )

r ' ' t = ( 0 , 3 t ,   - 2 )

Observemos que para a função vetorial r ( t ) , no ponto (1, 4, -1) temos t = 1 . Portanto, para esse valor de t , temos:

r ' 1 = ( 1 ,   6 ,   - 2 )

r ' ' 1 = ( 0 ,   3 ,   - 2 )

Passo 2

Precisamos calcular o módulo do vetor tangente r ' ( 1 ) pois seu valor será usado depois para calcular a curvatura em t = 1 .

r ' 1 = 1 + 36 + 4 = 4 1

Passo 3

Também é necessário obter o produto vetorial r ' t × r ' ' ( t ) em t = 1 . Temos:

r ' 1 × r ' ' 1 = i j k 1 6 - 2 0 3 - 2

r ' 1 × r ' ' 1 = - 12 + 6 i - - 2 - 0 j + 3 - 0 k

r ' 1 × r ' ' 1 = ( - 6 ,   2 ,   3 )

O módulo do produto vetorial calculado acima é:

r ' 1 × r ' ' 1 = - 6 2 + 2 2 + 3 2

r ' 1 × r ' ' 1 = 49

r ' 1 × r ' ' 1 = 7

Passo 4

Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema 10 obtemos a curvatura da função vetorial dada.

k 1 = r ' 1 × r ' ' 1 r ' 1 3

k 1 = 7 ( 41 ) 3

k 1 = 7 41 41

Passo 5

Com um auxílio de um software é possível traçar a curva r ( t ) .

Resposta

k 1 = 7 41 41

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