Enunciado

Use o resultado do Exemplo 6 para calcular l n 1,1 com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Do Exemplo 6 sabemos que

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 1 ∞ x n n                               x < 1

Para calcular l n 1,1 basta então substituir x por -0,1 pra depois obter uma aproximação da série resultante. Bem simples né!? Vamos lá então!

l n 1,1 = ln ⁡ 1 - - 0,1 = - ∑ n = 1 ∞ ( - 0,1 ) n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 0,1 n n

= 0,1 - 0,1 2 2 + 0,1 3 3 - 0,1 4 4 + … + - 1 n + 1 0,1 n n + …

O valor exato de l n 1,1 é dado pela série dada acima. Tal valor pode ser aproximado por uma das somas parciais da série utilizando-se o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. Mas ATENÇÃO: como queremos um resultado com precisão de cinco casas decimais, o erro envolvido na aproximação, deve ser menos que 0,00001.

Passo 2

Pelo teorema citado, o erro de aproximação é no máximo igual ao primeiro termo ignorado na soma parcial escolhida. Tomando a soma parcial dos quatro primeiros termos da série, S 4 , como aproximação, o erro envolvido será menor ou igual ao módulo do quinto termo

0,1 5 5 ≈ 0,000002

Esse valor atende ao critério de precisão estabelecido no exercício!

Passo 3

Agora só falta calcular a soma parcial S 4 que será a aproximação para l n 1,1 .

l n 1,1 ≈ 0,1 - 0,1 2 2 + 0,1 3 3 - 0,1 4 4 ≈ 0,09531

PRONTINHO!

Resposta

l n 1,1 ≈ 0,09531

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