(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r(t) = (t^2, sen(t) - t * cos(t), cos(t + t) + sen(t)) ; t > 0

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza?

Aqui nessa questão nós vamos usar as definições dos vetores T ( t ) e N ( t ) :

T t = r ' t r ' t

e

N t = T ' t T ' t

Depois disso, vamos usar a fórmula 9:

κ t = T ' t r ' t

para calcular a curvatura.

Tá tranquilo? Então vem comigo.

Passo 2

O primeiro passo é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Derivando cada componente de r t , temos:

r ' t = ( 2 t ,   c o s t - cos ⁡ t + t   s e n t , -   s e n   t + s e n   t + t c o s   t )

r ' t = ( 2 t ,   t   s e n   t , t c o s   t )

O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:

r ' t = 4 t 2 + t 2 s e n 2 t + t 2 cos 2 ⁡ t

r ' t = 4 t 2 + t 2 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t )

r ' t = 4 t 2 + t 2

r ' t = 5 t

O vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

T t = 1 5 t ( 2 t ,   t   s e n   t , t c o s   t )

Colocando o t em evidência, obtemos

T t = 1 5 ( 2 ,   s e n   t , c o s   t )

Passo 3

Calculado o vetor unitário T t , podemos obter a sua derivada:

T ' t = 1 5 ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

O módulo de T ' t deve ser calculado. Temos:

T ' t = 1 5 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

T ' t = 1 5 1

T ' t = 1 5

Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário

N t = T ' t T ' t

Temos

N t = 1 1 5 1 5 ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

N t = ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

Passo 4

O raio de curvatura é dado por

k t = T ' t r ' t

k t = 1 5 5 t

k t = 1 5 t

Resposta

T t = 1 5 ( 2 ,   s e n   t , c o s   t )

    N t = ( 0 ⁡ , cos ⁡ t ,   - s e n   t )

k t = 1 5 t

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