(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e.
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Fala aí, galera. Beleza?
Aqui nessa questão nós vamos usar as definições dos vetores e :
e
Depois disso, vamos usar a fórmula 9:
para calcular a curvatura.
Tá tranquilo? Então vem comigo.
Passo 2
O primeiro passo é calcular a derivada da curva dada. Derivando cada componente de , temos:
O módulo do vetor tangente, calculado acima, é:
O vetor tangente unitário é dado por:
Colocando o em evidência, obtemos
Passo 3
Calculado o vetor unitário podemos obter a sua derivada:
O módulo de deve ser calculado. Temos:
Com base nos resultados anteriores podemos calcular o vetor normal unitário
Temos
Passo 4
O raio de curvatura é dado por
Resposta
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Determine o comprimento da curva dada.r(t) = 〈 t^2, sen(t) - t * cos(t), cos(t) + t * sen(t) 〉, 0 ≤ t ≤ pi
Determine o comprimento da curva dada.r(t) = cos(t)i + sin(t)j + ln(cos(t)k) 0 ≤ t ≤ π/4
Determine o comprimento da curva dada. r(t) = i + t^2 * j + t^3 * k 0 ≤ t ≤ 1
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce.r(t) =sen(t), 3, cos(t)
As fórmulas seguintes, chamadas formulas de Frenet-Serret, são de fundamental importância em geometria diferencial:dT/ds = κ * N dN/ds = -κT + τB dB/ds = -τ * N A fórmula 1 vem do exercício 51 , e a f