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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 45

Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura.

x = e t cos ⁡ t , y = e t sen ⁡ t

Passo 1

Olá, meu amigo. Essa atividade nos pede para que a gente utilize a fórmula do exercício 42 para calcularmos a curvatura de:

x = e t cos ⁡ t

y = e t sen ⁡ t

A fórmula do exercício 42 é:

k = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2

Em que os pontos indicam qual derivada da parametrização é.

Primeiramente, vamos calcular as primeiras derivadas:

x ˙ = e t ( cos ⁡ t - s e n   t )

y ˙ = e t ( cos ⁡ t + s e n   t )

E as segundas derivadas:

x ¨ = e t ( - s e n   t - cos ⁡ t ) + e t ( cos ⁡ t - s e n   t ) = 2 e ^ t   s e n   t

y ¨ = e t ( - s e n   t + cos ⁡ t ) + e t ( cos ⁡ t + s e n   t ) = 2 e t cos ⁡ t

Após isso iremos substituir na fórmula.

Passo 2

Substituindo na fórmula:

k = e t ( cos ⁡ t - s e n   t ) ⋅ e t ( - s e n   t + cos ⁡ t ) - e t ( cos ⁡ t + s e n   t ) - 2 e t sin ⁡ t e t ( cos ⁡ t - s e n   t ) 2 + e t ( cos ⁡ t + s e n   t ) 2 3 2

k = 2 e 2 t cos 2 ⁡ t - cos ⁡ t sin ⁡ t + 2 e 2 t sin 2 ⁡ t + cos ⁡ t sin ⁡ t e 2 t 1 - 2 cos ⁡ t sin ⁡ t + e 2 t 1 + 2 cos ⁡ t sin ⁡ t 3 2

k = | 2 e 2 t ( cos 2 ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + s e n   t cos ⁡ t + s e n 2 t ) | e 2 t ( cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t   s e n   t + s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 2 cos ⁡ t   s e n   t + s e n 2 t 3 2

k = 2 e 2 t 1 e 2 t 1 + 1 3 2

Podemos retirar o modulo por e 2 t sempre será positivo:

k = 2 e 2 t e 3 t 2 3 2

k = 1 2 e t

Resposta

1 2 e t

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