Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)

r t = t , e - t , t e - t ,     1 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade aqui.

Temos que

r t = t , e - t , t e - t

E queremos calcular o comprimento dessa curva entre:

1 ≤ t ≤ 3

Para situações em que temos uma curva parametrizada, o comprimento da curva é dado por:

L = ∫ a b r ' t d t

Sendo assim, deveremos derivar a nossa curva. Os limites de integração já nos foram dados.

Passo 2

Então, temos que:

r ' t = 1 , - e - t , 1 - t e - t

Feito esse passo, precisamos agora calcular r ' t . Então vamos la.

r ' ( t ) = 1 2 + - e - t 2 + 1 - t e - t 2

Isso nos dá que:

r ' ( t ) = 1 + 2 - 2 t + t 2 e - 2 t  

Passo 3

Agora precisamos integrar esse valor que encontramos, ou seja:

L = ∫ a b r ' ( t ) d t

Note que nosso intervalor é:

    1 ≤ t ≤ 3

E que encontramos

r ' ( t ) = 1 + 2 - 2 t + t 2 e - 2 t

Assim,

L = ∫ 1 3 1 + 2 - 2 t + t 2 e - 2 t d t

Para calcularmos essa integral precisamos de uma calculadora científica, pois a mesma não é resolvida por métodos elementares.

L ≈ 2,0454

Resposta

2,0454

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Trace a curva com equações paramétricas x = s e n t , y = s e n 2 t , z = c o s 4 t . Explique sua forma representando por gráficos suas projeções para os três planos coordenados.
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Combine as equações paramétricas com os gráficos (Figuras I-VI). Dê razões para suas escolhas:x = cos(8t) , y = sen(8t) , z = e^(0,8t) , t = 0
Esboce a curva com a equação vetorial fornecida. Indique uma seta, o sentido na qual t aumenta:r(t) = 〈t² - 1, t〉
Combine as equações paramétricas com os gráficos (Figuras I-VI). Dê razões para suas escolhas:x = t , y = 1 / (1 + t^2) , z = t^2