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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 6

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 7 t t 2 + 1 1 / 3 d t
  2. ∫ - 7 0 t t 2 + 1 1 / 3 d t

Passo 1

Vamos começar relembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = t 2 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 2 t + 0 d t

d u 2 = t d t

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

t = 0 → u = 0 2 + 1 = 1

t = 7 → u = 7 2 + 1 = 8

Assim,

∫ 0 7 t t 2 + 1 1 / 3 d t = ∫ 0 7 t 2 + 1 1 / 3 t d t = ∫ 1 8 u 1 3 d u 2

Calculando a integral:

1 2 ∫ 1 8 u 1 3 d u = 1 2 u 4 / 3 4 / 3 1 8 = 1 2 3 u 4 / 3 4 1 8 = 1 2 3 4 8 4 3 - 3 4 1 4 3 = 1 2 3 ∙ 16 4 - 3 4 = 4 5 8

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

t = - 7 → u = - 7 2 + 1 = 8

t = 0 → u = 0 2 + 1 = 1

Assim,

1 2 ∫ 8 1 u 1 3 d u = - 1 2 ∫ 1 8 u 1 3 d u = - 45 8

Resposta

  1. 45 / 8
  2. - 45 / 8
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