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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1e

Calcule.

int_(- 3)^4 root(3)(5 - x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 5 - x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 1 d x -> d u = - d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = - 3 -> u = 5 - (- 3) = 8

x = 4 -> u = 5 - 4 = 1

Vamos agora fazer a substituição:

int_(- 3)^4 root(3)(5 - x) d x = int_1^8 - root(3)(u) d u = int_1^8 - u^((1)/(3)) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int - u^((1)/(3)) d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int - u^((1)/(3)) d u = - int u^((1)/(3)) d u = - ((u^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1)) = - ((u^((4)/(3)))/((4)/(3))) = - (3 u^((4)/(3)))/(4) + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^8 - u^((1)/(3)) d u = (- (3 u^((4)/(3)))/(4))_1^8 = - (3 * 8^((4)/(3)))/(4) - (- (3 * 1^((4)/(3)))/(4)) = (3 * 16)/(4) - (3 * 1)/(4) = (48)/(4) - (3)/(4) = (45)/(4)

Resposta

int_(- 3)^4 root(3)(5 - x) d x = (45)/(4)

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