Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 39

Nos Exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

39.

y = ln ⁡ x 2 + 1 5 1 - x

Passo 1

Essas questões aqui não tem segredo, é só aplicar as regras de derivada bem certinho e cuidar pra não esquecer de nada que vai dar certo. Nesse caso aqui a gente precis da regra da cadeia:

Então a gente faz a derivada do que está fora, dai multiplica pela derivada do de dentro:

A derivada de ln ⁡ x é igual a 1 / x então:

y ' = 1 x 2 + 1 5 1 - x ⋅ d d x x 2 + 1 5 1 - x

Passo 2

A derivada do ln ⁡ x é mais de boa, o mais chatinho agora vai ser aplicar a regra do quociente pra essa função que estava dentro do ln:

d d x x 2 + 1 5 1 - x = 1 - x d d x x 2 + 1 5 - x 2 + 1 5 d d x 1 - x 1 - x 2

Eiii, não se assusta com o tamanho, isso aqui é receitinha de bolo. Se fazer o passo a passo sempre da certo, tamo quase acabando.

Passo 3

Vamos calcular d d x x 2 + 1 5 . Perceba que vamos ter que usar a regra da cadeia, novamente, para esse termo:

d d x x 2 + 1 5 = 5 x 2 + 1 4 ⋅ d d x x 2 + 1

d d x x 2 + 1 5 = 5 x 2 + 1 4 ⋅ 2 x + 0

d d x x 2 + 1 5 = 10 x x 2 + 1 4

Mesma coisa vai acontecer para d d x 1 - x :

d d x 1 - x = 1 2 1 - x ⋅ d d x 1 - x

d d x 1 - x = 1 2 1 - x ⋅ 0 - 1

d d x 1 - x = - 1 2 1 - x

Passo 4

Agora que temos os valores das duas derivadas que estavam faltando, vamos terminar de fazer as contas:

d d x x 2 + 1 5 1 - x = 1 - x 10 x x 2 + 1 4 - x 2 + 1 5 - 1 2 1 - x 1 - x 2

Então

y ' = 1 - x x 2 + 1 5 ⋅ 1 - x 10 x x 2 + 1 4 - x 2 + 1 5 - 1 2 1 - x 1 - x 2

Multiplicando as frações:

y ' = 1 - x 2 10 x x 2 + 1 4 - x 2 + 1 5 - 1 2 x 2 + 1 5 1 - x 2

Separando em duas somas, para ficar mais fácil de cortar os termos depois:

y ' = 1 - x 2 10 x x 2 + 1 4 x 2 + 1 5 1 - x 2 + x 2 + 1 5 1 2 x 2 + 1 5 1 - x 2

y ' = 10 x x 2 + 1 + 1 2 ( 1 - x )

Resposta

y ' = 10 x x 2 + 1 + 1 2 ( 1 - x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ x ) )
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln ⁡ x 3
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln ⁡ 10 x
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = t ln ⁡ t
Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso. y = ln ⁡ k x k , constante