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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 23

Use a fórmula

d y d x   =   lim z → x ⁡   f ( z )   -   f ( x ) z   -   x

Para determinar a derivada da função

f ( x )   =   1 x   +   2

Passo 1

As vezes não vamos ter como usar os truques de derivadas, principalmente quando tivermos funções com comportamentos estranhos. Então temos que saber muito bem como resolver derivando pela definição. A forma como ele pediu não é muito diferente do que aprendemos nas aulas de calculo

lim ∆ x → 0 ⁡   f ( x + ∆ x )   -   f ( x ) ∆ x =   lim z → x ⁡   f ( z )   -   f ( x ) z   -   x

Então vamos lá . Vamos plotar nossos valores e arregaçar as mangas e calcular.

d y d x   =   lim z → x ⁡   1 z   +   2   -   1 x   +   2 z   -   x

Aqui vamos precisar fazer um truque. Vamos multiplicar e dividir, em cima e em baixo para poder resolver . Saca só !

d y d x   =   lim z → x ⁡   1 z   +   2   ∙   x   +   2 x   +   2   -   1 x   +   2   ∙ z   +   2 z   +   2 z   -   x

d y d x   =   lim z → x ⁡     x   +   2 -     z   -   2 ( z   -   x ) ( x   +   2 ) ( z   +   2 )

d y d x   =   lim z → x ⁡     x   -     z   ( z   -   x ) ( x   +   2 ) ( z   +   2 )

d y d x   =   lim z → x ⁡   -   ( z   -   x )     ( z   -   x ) ( x   +   2 ) ( z   +   2 )

d y d x   =   lim z → x ⁡   -   1     ( x   +   2 ) ( z   +   2 )

Olha só, estamos avançando. Já melhoramos muito a cara de nossa função. Podemos agora simplesmente aplicar nosso limite.

d y d x   =   -   1     ( x   +   2 ) ( x   +   2 )

d y d x   =   -   1     ( x   +   2 ) 2

Prontinho, essa demorou mais um pouquinho, mas estamos avançando. Conforme você for resolvendo mais questões vai pegando mais sagacidade com as contas. Te vejo então na próxima resolução. : D

Resposta

d y d x   =   -   1     ( x   +   2 ) 2

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