50. Prove que se , (Sugestão: seja , mostre então que é decrescente em e ache .)
Passo 1
Vamos analisar a função e usar a sugetão pra calcular .
Passo 2
Pela sugestão, temos:
Então, .
Passo 3
Agora, usando o teorema do valor médio, há um número c entre e 1 tal que:
Certinho? Pra só substituí o por e derivei.
Passo 4
Agora, vamos analisar, no enunciado temos que (intervalo que estamos avaliando). Se isso é válido, então .
E também e (Porque e assumem valores próximos a 1, então essas continhas sempre vão dar )
Passo 5
Pegando do passo 2:
Vimos que e , então o produto entre eles sempre será positivo, certo?
E quanto mais perto de 1 e estiverem, menor será . Por isso é decrescente e pois quanto mais próximo está de 1, o se aproxima de 0.
Provamos ser decrescente e
Resposta
.