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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 50

50. Prove que se x < 1 , l n x < x (Sugestão: seja f x = x - l n x , mostre então que f é decrescente em ( 0,1 ) e ache f ( 1 ) .)

Passo 1

Vamos analisar a função l n e usar a sugetão pra calcular f ( 1 ) .

Passo 2

Pela sugestão, temos:

f x = x - l n x

Então, f 1 = 1 .

Passo 3

Agora, usando o teorema do valor médio, há um número c entre x e 1 tal que:

f x = f x - f 1 = x - 1 f ' c = ( x - 1 ) ( 1 - 1 c )

Certinho? Pra f ' c só substituí o x por c e derivei.

Passo 4

Agora, vamos analisar, no enunciado temos que 0 < x < 1 (intervalo que estamos avaliando). Se isso é válido, então 0 < c < 1 .

E também x - 1 < 0 e 1 - 1 c < 0 (Porque x e c assumem valores próximos a 1, então essas continhas sempre vão dar < 0 )

Passo 5

Pegando do passo 2: f x =   ( x - 1 ) ( 1 - 1 c )  

Vimos que x - 1 < 0 e 1 - 1 c < 0 , então o produto entre eles sempre será positivo, certo?

E quanto mais perto de 1 x e c   estiverem, menor será f ( x ) . Por isso f é decrescente e l n x < x pois quanto mais próximo x   está de 1, o l n x se aproxima de 0.

Provamos f ser decrescente e l n x < x

Resposta

f 1 = 1 .

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