Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 50

50. Prove que se x < 1 , l n x < x (Sugestão: seja f x = x - l n x , mostre então que f é decrescente em ( 0,1 ) e ache f ( 1 ) .)

Passo 1

Vamos analisar a função l n e usar a sugetão pra calcular f ( 1 ) .

Passo 2

Pela sugestão, temos:

f x = x - l n x

Então, f 1 = 1 .

Passo 3

Agora, usando o teorema do valor médio, há um número c entre x e 1 tal que:

f x = f x - f 1 = x - 1 f ' c = ( x - 1 ) ( 1 - 1 c )

Certinho? Pra f ' c só substituí o x por c e derivei.

Passo 4

Agora, vamos analisar, no enunciado temos que 0 < x < 1 (intervalo que estamos avaliando). Se isso é válido, então 0 < c < 1 .

E também x - 1 < 0 e 1 - 1 c < 0 (Porque x e c assumem valores próximos a 1, então essas continhas sempre vão dar < 0 )

Passo 5

Pegando do passo 2: f x =   ( x - 1 ) ( 1 - 1 c )  

Vimos que x - 1 < 0 e 1 - 1 c < 0 , então o produto entre eles sempre será positivo, certo?

E quanto mais perto de 1 x e c   estiverem, menor será f ( x ) . Por isso f é decrescente e l n x < x pois quanto mais próximo x   está de 1, o l n x se aproxima de 0.

Provamos f ser decrescente e l n x < x

Resposta

f 1 = 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10 m / s , sua altura em metros depois de t segundos é dada por y = 10 t - 4,9 t 2 . Encontre a velocidade quando t = 2 s .
Para a função do exercício 18:(a) Estime o valor de f ' ( 50 ) (b) f ' 10f ' 30 ? (c) f ' 60f 80 - f 40 80 - 40 ? Explique.
O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s = t 2 - 8 t + 18 Onde t é medido em segundos.(a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes int
O custo de produzir x onças de ouro em uma nova mina de ouro é dada C = f ( x ) dólares. Qual é o significado da derivada f ' ( x ) ? Quais é a unidade?
Seja H t o custo diário (em dólares) para aquecer um prédio de escritórios quando a temperatura externa for de t graus Fahrenheit. Qual é o significado do H ' ( 58 ) ? Quais são as suas unidades?