Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.8 - Ex. 4
4. Use a função de Liapunov para mostrar que a origem é um ponto crítico global assintoticamente estável para as equações de Lorenz (1) se .
Passo 1
Bem, pelo teorema , se queremos provar que a origem é assintoticamente estável, primeiro devemos provar que é uma função definida positiva: maior que sempre em dado conjuntinho , perto da origem, mas igual a na origem.
Repare que é maior que , de acordo com a teoria:
Então de fato, assume valores maiores que sempre de menos na origem:
Ou seja, então ela é definida positiva.
Passo 2
Agora, consideremos a derivada:
Onde , e são da definição do nosso sistema comentado até agora no capítulo e nos exercícios:
tem que ser definida negativa, isto é, pelo menos para um conjuntinho contendo a origem, ela é menor que sempre, de menos na origem. Como é definida por...
Calculando as derivadas parciais...
E simplificando...
Existe então um volumizinho que está contido ao e que contém a origem...
De modo que assuma apenas valores negativos em todo esse voluminho de menos na origem, afinal, devida ao fato de e serem positivos e , o valor de será maior que , pelo menos para alguns pequenos ao redor da origem:
O que prova que...
Passo 3
CONCLUSÃO:
Pelo teorema , se temos uma função de (de Liapunov) definida positiva (positiva de menos na origem) em um conjunto tal que a sua derivada seja definida negativa (negativa de menos na origem), então o ponto crítico de fato será assintoticamente estável, oq eu prova o nosso problema .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)