Use um gráfico do campo vetorial e a curva para dizer se a integral de linha de ao longo de é positiva, negativa ou nula. Em seguida, calcule a integral.

, é o arco de círculo percorrido no sentido anti-horário de a .

Vamos começar pelo arco C . Eles nos diz que esse arco pertence a um círculo .

A forma padrão para representar um círculo é a seguinte:

Logo podemos dizer que o raio da equação do círculo que ele nos deu irá ser , e o irá ser . Construindo o círculo teremos a figura abaixo:

Porém, ele quer que a curva percorra do ponto a , no sentido anti-horário.

Ou seja, não teremos o quarto quadrante do círculo, porque não está incluso do ponto a . Logo a curva será representada por :

Beleza, agora precisamos construir o campo vetorial.

Vamos precisar de uma informação que ele nos dá lá no enunciado.

Show, para construir o campo vetorial precisamos supor alguns pontos para entendermos qual é o seu comportamento. Bom , esses pontos são aleatórios ?

SIM E NÃO…..

Podemos sim escolher qualquer ponto para desenharmos o campo vetorial porém para sermos mais assertivos precisamos escolher pontos que tenham alguma conexão com o nosso problema.

Por exemplo, vou supor os seguintes pontos:

, ,,

Esses são pontos que pertencem ao meu arco :

Agora, iremos substituir cada ponto lá em função do campo vetorial.

Para o ponto

Para o ponto

Para o ponto

Para o ponto

Beleza , agora se olharmos os resultados , no caso desses pontos, o vetor vai variar 2 unidade no eixo . Vamos desenhá-los :

A partir desses vetores podemos observar um pouco do comportamento . Vemos que eles seguem o sentido anti-horário apontando a mesma direção da curva . Então isso nos leva a crer que a linha integral de linha será positiva.

Porém o campo vetorial completo pode ser mais trabalhoso de ser desenhado manualmente , então podemos desenhá-lo utilizando um software.

Utilizando um software obtemos o seguinte resultado:

.

Beleza, nós conseguimos entender o comportamento da integral apenas com o campo de força e com a curva, mas o exercício nos pede para confirmar esse resultado fazendo uma integral.

Então vamos nessa!!!

Já sabemos que a curva será o arco do círculo percorrido no sentido anti-horário de a .

A curva será os intervalos da nossa integral. Porém como ela é um arco de um círculo ,ela irá variar de acordo com os ângulos e a nossa função está variando em , então não vai dar bom

Por isso iremos fazer uma parametrização.

O primeiro passo para parametrizar é escolher um parâmetro, vamos usar o , já que os nossos intervalos serão ângulos.

O segundo passo será definir os intervalos. Como vimos anteriormente a nossa curva tem o seguinte aspecto:

Podemos ver que o varia de a . Logo nosso intervalo será:

O terceiro passo vai ser achar a equação paramétrica. Nesse tipo de exercício é muito comum utilizar as coordenadas polares. Assim , podemos dizer que nossa equação será:

Aonde serão representados sendo :

Beleza agora que já sabemos como funciona a parametrização vamos substituir os valores.

Lembra que o ??

Então podemos substituir esse valor e termos que :

Agora vamos substituir o e o lá no campo vetorial que ele nos deu. Lembra??

Vai ficar assim:

Essa questão é um pouquinho grande mas calma que está quase acabando. Lembrando que nosso objetivo aqui é realizar a integral de linha .

Mas para isso precisávamos descobrir quem era e , como foi feito nos passos anteriores.

A função já sabemos que será :

Agora vamos achar :

Derivando teremos :

Agora fazer o produto escalar entre :

=

=

Belezinha, esse resultado é o que vamos integral, sendo assim :

Podemos separar em 3 integrais para ficar mais fácil

Vamos começar pela primeira :

Nesse caso iremos precisar fazer uma integral por substituição , vai ficar assim:

substituindo na integral :

Vamos para a segunda integral :

Para fazer essa integral a gente pode usar um bizu . Lembra da equação para arco duplo?

Substituindo na integral:

Vamos dividir em duas partes:

Mais uma vez vai ser necessária fazer a integral por substituição:

Substituindo na integral :

2

Ufa, agora vamos para última integral :

vamos utilizar o método de substituição:

iremos chamar e

Para não ficar negativo podemos trocar os limites de integração

Beleza , agora temos os valores de cada integral que separamos lá no início :

Substituindo o resultado de cada uma teremos :

O resultado deu positivo, como previmos.