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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4a

4. Calcule

int_C F * d vec r

Onde

  1. F (x , y) = (x^2 - 2 x y , y^2 - 2 x y) e C é a parábola y = x^2 de (- 2,4) a (1,1)

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

int_C F * d vec r

Logo se dissermos que

r = gamma (t)

d r = gamma^' (t) d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

int_C F * d vec r = int_(t_0)^(t_1) F (gamma ( t )) * gamma^' (t) d t

Bora cair dentro !!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a parábola y = x^2 de (- 2,4) a (1,1) logo podemos pensar numa parametrização tranquilinha

gamma (t) = (t , t^2)

gamma^' (t) = (1,2 t)

Com o seguinte intervalo

t in [- 2,1]

Agora basta parametrizarmos nossa função

F (x , y) = (x^2 - 2 x y , y^2 - 2 x y)

F (gamma (t)) = (t^2 - 2 t^3 , t^4 - 2 t^3)

Passo 3

Bora integrar!

int_C F * d vec r = int_(t_0)^(t_1) F (gamma ( t )) * gamma^' (t) d t

= int_(- 2)^1 (t^2 - 2 t^3 , t^4 - 2 t^3) * (1,2 t) d t

= int_(- 2)^1 (t^2 - 2 t^3 + 2 t^5 - 4 t^4) d t

= ([(t^3)/(3) - (2)/(4) t^4 + (2)/(6) t^6 - (4)/(5) t^5]|_(- 2)^1

= (1)/(3) (1 - ( - 8 )) - (1)/(2) (1 - 16) + (1)/(3) (1 - 64) - (4)/(5) (1 - (- 32))

= - (369)/(10)

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int_C F * d vec r = - (369)/(10)

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Seja gamma (t) = (R cos t , R s e n t) , 0 = t = 2 pi (R0) . Mostre que int_gamma (- y)/(x^2 + y^2) d x + (x)/(x^2 + y^2) d y Não depende de R
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