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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 4b

4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

b. F   x , y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 e C é a circunferência de centro na origem e raio a , percorrida no sentido anti-horario

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro !!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a circunferência de centro na origem e raio a. Logo podemos dizer que C é

x 2 + y 2 = a 2

Logo uma parametrização que nos ajuda é passar nosso sistema de coordenadas cartesianas para polares

γ t = acos ⁡ t ,   a sen ⁡ t

γ ' t = - a sen ⁡ t ,   a cos ⁡ t

t ∈ 0 ,   2 π

Show!!! Já conseguimos boa parte do processo, agora só falta parametrizar nossa função

F   x , y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2

F γ t = acos ⁡ t acos ⁡ t 2 +   a sen ⁡ t 2 , a sen ⁡ t acos ⁡ t 2 +   a sen ⁡ t 2

F γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

=   ∫ 0 2 π cos ⁡ t , sen ⁡ t ⋅ - a sen ⁡ t ,   a cos ⁡ t d t

=   ∫ 0 2 π - a sen ⁡ t cos ⁡ t + a sen ⁡ t cos ⁡ t d t

= 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → = 0

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