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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.4 - Ex. 8

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que s e n x - 1 2 < 0,1 sempre que x - π 6 < δ .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar um gráfico para encontrar um número δ tal que s e n x - 1 2 < 0,1 sempre que x - π 6 < δ .

O que devemos fazer aqui é dizer qual é o número δ que respeita essa condição. Vamos então traçar o gráfico de s e n x - 1 2 < 0,1 para ver isso acontecendo. Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

Antes de plotarmos o gráfico vamos fazer algumas modificações na expressão para tornar nossa resolução mais simples. Observe que:

s e n x - 1 2 < 0,1

Tirando o módulo, ficamos com:

- 0,1 < s e n x - 1 2 < 0,1

E isolando o sen ⁡ x , ficamos com:

0,4 < s e n x < 0,6

Perfeito.

Passo 3

Agora vamos plotar essas três curvas. Sendo elas:

f = 0,4

h = sen ⁡ x

g = 0,6

Perceba que há uma região onde a curva h ficou entre as duas retas f e g .

Passo 4

Olhando as interseções das curvas obtemos os seguintes pontos 0.42 ,   0.4   e   ( 0.64 ,     0.6 ) . Dessa forma, podemos verificar um valor para δ

0.5 - x < δ

0.5 - 0.42 = 0.08

0.5 - 0.64 = 0.14

Nosso δ vai ser o valor mínimo entre os 2, portanto, 0 < δ < 0.08

Resposta

δ = 0.08

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