Determine a área das região no primeiro quadrante , delimitada pelas retas

e

A curva e o eixo

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver em parte de até é a função que está por cima , é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Porém a partir de até , q isso muda e é a função que está por cima eé a função que está por baixo.

Mas podemos nos perguntar e a função , onde ela entra? Nesse exemplo essa reta somente tem a função de delimitar a região que queremos calcular a área.

Como pudemos perceber esse gráfico, é um pouco diferente. Sendo assim, para definirmos a “cara” da integral precisamos definir quais os intervalos de integração e qual função que será considerada em cada um delas.

Para isso, vamos olhar para o gráfico das funções e ver os pontos estratégicos que facilitem nosso trabalho. Perceba que até temos 2 funções, uma abaixo e outra acima, já de até temos outras 2 funções diferentes, uma abaixo e outra acima. Dessa maneira teremos que

Quando teremos que ,

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Calculando a integral 1

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

Logo a integral 1

Calculando a integral 2

Usando o fato de

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

Logo a integral 2

Portanto,