Mostre que raiz(1 + x) < 1 + (1 / 2)x se x > 0 .

Passo 1

E ai meus caros amigos (as), bora resolver essa junto comigo?

A gente precisa provar o seguinte:

1 + x < 1 + 1 2 x

Para:

x > 0

Então precisamos provar essa desigualdade.

Podemos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) nessa questão.

Condições para Aplicar o Teorema do Valor Médio

O TVM afirma que se uma função f é contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e diferenciável no intervalo aberto a , b , então existe pelo menos um ponto c em ( a , b ) tal que a derivada da função nesse ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b :

f ' c = f b - f a b - a

Então o que iremos fazer é organizar nossa desigualdade de forma a termos essa desigualdade da seguinte forma:

f b - f a b - a

Assim a gente vai poder provar o que queremos por meio do teorema.

Passo 2

Reescreva a equação na forma apropriada para que possamos aplicar o Teorema do Valor Médio à função do lado esquerdo da desigualdade:

1 + x < 1 + 1 2 x

Passando para o outro lado:

1 + x - 1 < 1 2 x

Passando o x para o outro lado:

1 + x - 1 x < 1 2

Vamos reescrever para deixar da forma que queremos:

1 + x - 1 1 + x - x < 1 2

Passo 3

Note que agora estamos da forma:

f b - f a b - a

Para qual:

f x = 1 + x

E

a = 1

E

b = 1 + x

Desde que 1 + x satisfaz a condição para o teorema do valor intermediário em:

1,1 + x

Onde:

x > 0

A expressão é igual a f ' c para algum c   ∈ 1,1 + x . Sendo assim, para c > 1 :

1 + x - 1 1 + x - x = f ' c

Precisamos derivar f x = 1 + x   , para isso aplicamos a regra da cadeia:

f ' x = x ' ⋅ 1 + x

Temos então que:

f ' x = 1 2 1 + x

Teremos então que:

1 + x - 1 1 + x - x = f ' c = 1 2 1 + c

A desigualdade inicial que precisamos provar agora é equivalente a:

1 2 1 + c < 1 2

Resposta

Ver a resolução.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados