Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.2 - Ex. 27
Mostre que se .
Passo 1
E ai meus caros amigos (as), bora resolver essa junto comigo?
A gente precisa provar o seguinte:
Para:
Então precisamos provar essa desigualdade.
Podemos usar o Teorema do Valor Médio (TVM) nessa questão.
Condições para Aplicar o Teorema do Valor Médio
O TVM afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto então existe pelo menos um ponto em tal que a derivada da função nesse ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo
Então o que iremos fazer é organizar nossa desigualdade de forma a termos essa desigualdade da seguinte forma:
Assim a gente vai poder provar o que queremos por meio do teorema.
Passo 2
Reescreva a equação na forma apropriada para que possamos aplicar o Teorema do Valor Médio à função do lado esquerdo da desigualdade:
Passando para o outro lado:
Passando o para o outro lado:
Vamos reescrever para deixar da forma que queremos:
Passo 3
Note que agora estamos da forma:
Para qual:
E
E
Desde que satisfaz a condição para o teorema do valor intermediário em:
Onde:
A expressão é igual a para algum . Sendo assim, para :
Precisamos derivar , para isso aplicamos a regra da cadeia:
Temos então que:
Teremos então que:
A desigualdade inicial que precisamos provar agora é equivalente a:
Resposta
Ver a resolução.