Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 38
Um número é chamado ponto fixo de uma função se . Demonstre que se para todo número real , então tem no máximo um ponto fixo.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?!
O enunciado pede para que a gente demonstre que se para todo número real , então tem no máximo um ponto fixo. Sabendo que um número é chamado ponto fixo de uma função se .
Se queremos mostrar que tem no máximo um ponto fixo, vamos supor que ele tem mais de um e investigar até provar que isso é mentira!
Passo 2
Considerando que tenha dois pontos fixos temos:
Ah, vamos assumir que é derivável (e consequentemente contínua) em .
Como consideramos que que é derivável e contínua no domínio dos reais, então podemos aplicar o Teorema do Valor Médio, que diz:
Vamos selecionar o intervalo pra aplicar nesse teorema:
Mas lá em cima supomos que para qualquer número real . Isso mostra que nossa suposição estava errada, e que, não pode ter mais de um ponto fixo.
Resposta
Desenvolvimento acima.