Um número a é chamado ponto fixo de uma função f se f a = a . Demonstre que se f ' ( x ) ≠ 1 para todo número real x , então f tem no máximo um ponto fixo.

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?!

O enunciado pede para que a gente demonstre que se f ' ( x ) ≠ 1 para todo número real x , então f tem no máximo um ponto fixo. Sabendo que um número a é chamado ponto fixo de uma função f se f a = a .

Se queremos mostrar que f tem no máximo um ponto fixo, vamos supor que ele tem mais de um e investigar até provar que isso é mentira!

Passo 2

Considerando que f ( x ) tenha dois pontos fixos temos:

f a = a

f b = b

Ah, vamos assumir que f é derivável (e consequentemente contínua) em R .

Como consideramos que que f é derivável e contínua no domínio dos reais, então podemos aplicar o Teorema do Valor Médio, que diz:

f ' c = f b - f a b - a

Vamos selecionar o intervalo [ a , b ] pra aplicar nesse teorema:

f ' c = f b - f a b - a = b - a b - a = 1

Mas lá em cima supomos que f ' ( x ) ≠ 1 para qualquer número real x . Isso mostra que nossa suposição estava errada, e que, f não pode ter mais de um ponto fixo.

Resposta

Desenvolvimento acima.

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