Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 14
Use os guias desta seção para traçar a curva.
Passo 1
Oiii meus queridos!
Aqui nós temos a função
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
Passo 2
Nossa função é:
A) O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Logo:
B) Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x.
Para x = 0, temos .
Para temos:
Podemos ver que a função nunca será igual a zero.
C) Checando simetria:
Portanto, é uma função par, isto é, espelhada no eixo y.
Passo 3
D) Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.
Assíntotas Horizontais:
Vamos lá:
Logo, em temos assíntotas horizontais.
Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):
Logo, em e em temos assíntotas verticais, sendo que pela esquerda a função tende a menos infinito e pela direita a função tende a mais infinito.
Passo 4
E) Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:
Vamos lá, nossa função é:
Derivando, temos uma regra do quociente.
Avaliando os fatores, temos que o denominador será sempre positivo. Portanto, quem dita o sinal da derivada é o numerador.
Multiplicando por e invertendo o sinal da desigualdade, temos:
Portanto, quando e quando .
Passo 5
F) Pontos de máximos e mínimos.
Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de e avaliar se há troca de sinal de Ou então avaliar o sinal da segunda derivada nas raízes de
Vamos calcular a segunda derivada de f(x):
Na raíz de
(Você também poderia ter verificado isso aplicando o teste da primeira derivada. Como a função cresce antes de e decresce depois de , então é um ponto de máximo.)
Voltando na equação original de f(x):
Passo 6
G) Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.
Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade, isto é quando for igual a zero.
Avaliando os fatores, temos que o numerador será sempre positivo, pois para qualquer .
Com relação ao denominador temos:
Tirando a raíz e multiplicando por , temos:
Portanto, temos que:
Logo, os intervalos são:
Passo 7
H.
Resposta
