Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 14

Use os guias desta seção para traçar a curva.

Passo 1

Oiii meus queridos!

Aqui nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Nossa função é:

A) O domínio da função será os reais menos os pontos em que o denominador é igual a zero. Logo:

B) Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x.

Para x = 0, temos .

Para temos:

Podemos ver que a função nunca será igual a zero.

C) Checando simetria:

Portanto, é uma função par, isto é, espelhada no eixo y.

Passo 3

D) Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.

Assíntotas Horizontais:

Vamos lá:

Logo, em temos assíntotas horizontais.

Assíntotas Verticais (checar nos pontos que o denominador tende a zero):

Logo, em e em temos assíntotas verticais, sendo que pela esquerda a função tende a menos infinito e pela direita a função tende a mais infinito.

Passo 4

E) Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

Vamos lá, nossa função é:

Derivando, temos uma regra do quociente.

Avaliando os fatores, temos que o denominador será sempre positivo. Portanto, quem dita o sinal da derivada é o numerador.

Multiplicando por e invertendo o sinal da desigualdade, temos:

Portanto, quando e quando .

Passo 5

F) Pontos de máximos e mínimos.

Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de e avaliar se há troca de sinal de Ou então avaliar o sinal da segunda derivada nas raízes de

Vamos calcular a segunda derivada de f(x):

Na raíz de

(Você também poderia ter verificado isso aplicando o teste da primeira derivada. Como a função cresce antes de e decresce depois de , então é um ponto de máximo.)