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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 53

Use os guias desta seção para traçar a curva.

y = e^(arctan x)

Passo 1

Bom pessoal, nesta seção nos é dado um guia para seguir que ajuda a traçar a curva de uma função. Vamos segui-lo:

  1. O domínio da função será os reais, pois não há nenhuma indeterminação.

    2. D = I R

  2. Descobrir as interceptações da curva nos eixos y e x. Para x = 0, temos y = 1 . Para y = 0 , t e m o s :

    3. 0 = e^(arctan x)

    Esta condição nunca será satisfeita.

  3. Checando simetria:

    4. f (- x) != f (x) -> e^(arctan - x) != e^(arctan x)

    f (- x) != - f (x) -> e^(arctan - x) != - e^(arctan x)

    Portanto, não há simetria na função.

  4. Para encontrar assíntotas, temos que checar a existência de limites.

    5. Assíntotas Horizontais:

    underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = L

    underset(x -> - oo)(lim) f ( x ) = L

    Vamos lá:

    underset(x -> oo)(lim) e^(arctan x) = e^(pi // 2)

    underset(x -> - oo)(lim) e^(arctan x) = e^(- pi // 2)

    Logo, em y = e^(pi // 2) ; y = e^(- pi // 2) temos assíntotas horizontais.

    Não temos assíntotas Verticais .

  5. Intervalos crescentes e decrescentes. Temos que analisar a primeira derivada da função, onde:

    6. f^' (x) > 0 -> c r e s c e n t e

    f^' (x) < 0 -> d e c r e s c e n t e

    Vamos lá:

    f^' (x) = (e^(arctan x))/(x^2 + 1)

    Crescente:

    f^' (x) > 0 -> (e^(arctan x))/(x^2 + 1) > 0

    f^' (x) > 0 -> x in (- oo , oo)

    Não haverá intervalos decrescentes.

  6. Pontos de máximos e mínimos. Para encontrar estes pontos, temos que conhecer as raízes de f^(' (x)) e avaliar se há troca de sinal de f^' (x) . Ou então avaliar o sinal da segunda derivada f^(' ') (x) nas raízes de f^' (x) .

    7. S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) > 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m í n i m o

    S e f^' (c) = 0 e f^(' ') (c) < 0 -> e n t ã o c é p o n t o d e m á x i m o

    Como f ' ( x ) não possui raízes nem troca de sinal, não haverá ponto de máximos ou mínimos.

  7. Para analisar a concavidade da função e achar seus intervalos, devemos usar a segunda derivada da função.

f^(' ') (x) > 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a c i m a

f^(' ') (x) < 0 -> c o n c a v i d a d e p a r a b a i x o

Pontos de inflexão ocorrem na mudança de concavidade.

f^(' ') (x) = ((1 + x^2) e^(arctan x) ((1)/(1 + x^2)) - e^(arctan x) (2 x))/((1 + x^2)^2)

f^(' ') (x) = (e^(arctan x) (1 - 2 x))/((1 + x^2)^2)

(e^(arctan x) (1 - 2 x))/((1 + x^2)^2) > 0

f^(' ') (x) > 0 -> x in (- oo , (1)/(2))

(e^(arctan x) (1 - 2 x))/((1 + x^2)^2) < 0

f^(' ') (x) < 0 -> x in ((1)/(2) , oo)

Logo, os intervalos são:

C o n c a v i d a d e p a r a c i m a -> x in (- oo , (1)/(2))

C o n c a v i d a d e p a r a b a i x o -> x in ((1)/(2) , oo)

P o n t o s d e i n f l e x ã o -> x = (1)/(2)

H.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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