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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 71

Use as identidades cos ⁡ 2 θ = 1 - 2 sin 2 ⁡ θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1 para ajudar a calcular as integrais:

a ∫ s i n 2 x 2   d x

a ∫ c o s 2 x 2   d x

Passo 1

Bom galera, vamos começar com a primeira integral, usando a identidade:

cos ⁡ 2 θ = 1 - 2 sin 2 ⁡ θ

Bora mudar um pouquinho essa equação:

sin 2 ⁡ θ = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ )

→ sin 2 ⁡ θ 2 = 1 2 1 - cos ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, agora nossa primeira integral fica:

∫ sin 2 ⁡ x 2 d x → ∫ 1 2 1 - cos ⁡ x d x

→ 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ x   d x

Onde, a integral vai dar:

= 1 2 x - sin ⁡ x + C

Passo 3

A identidade para a segunda integral:

cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ - 1

Mexendo um pouquinho:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

→ cos 2 ⁡ θ 2 = 1 2 1 + cos ⁡ θ

Passo 4

Por fim, a gente aplica isso na segunda integral:

∫ cos 2 ⁡ x 2 d x → ∫ 1 2 1 + cos ⁡ x d x

→ 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ x   d x

Integrando isso fica:

= 1 2 x + sin ⁡ x + C

Resposta

a 1 2 x - sin ⁡ x + C

( b ) 1 2 x + sin ⁡ x + C

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